Đề thi HSG Toán 9 vòng 3 năm 2023 - 2024 trường THCS Tân Thành - Nghệ An

TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2023 – 2024

Môn thi: Toán 9 – Vòng 3 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (4,0 điểm) a) Cho p là số nguyên tố; 5 p ≥. Chứng minh rằng : Nếu 2 1 p + là số nguyên tố thì: 2 2 1 p + là hợp số.

b) Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0. Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 4 19 x y x + + =

b) Giải phương trình: 2 2 5 1 4 5 27 25 + + − = + + x x x x

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 M 4x 2y 4xy 4x 2023 = + − − + b) . Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1.

Chứng minh rằng x y z 9 x yz y zx z xy 4 + + ≤ + + +

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD, CE cắt nhau tại H .

a) Chứng minh: BH . BD= BC . BK và BH . BD + CH.CE= 2 BC .

b) Chứng minh BH AC = .cot ABC.

c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP MQ = .

Câu 5: (2,0 điểm) Trong một buổi gặp mặt có 294 người tham gia, những người tham gia, những người quen nhau bắt tay nhau. Biết nếu A bắt tay B thì một trong hai người A và B bắt tay không quá 6 lần. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cái bắt tay.

………………Hết………………

Họ và tên thí sinh:………………………………….Số báo danh:…………….

PHÒNG GD&ĐT YÊN THÀNH

CỤM TRUNG TÂM

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 - 2023

Môn thi: Toán 9

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Câu ĐÁP ÁN Điểm

1 (4.0đ)

a) (2,0đ)

a) Cho p là số nguyên tố; 5 p ≥. Chứng minh rằng : Nếu 2 1 p + là số nguyên tố thì: 2 2 1 p + là hợp số.

Vì p là số nguyên tố; 5 p ≥nên p lẻ và p không chia hết cho 3

Khi đó p chia cho 3 dư 1 hoặc 2

Suy ra : p = 3k +1, p = 3k +2 ( k thuộc n)

HS lập luận để chứng tỏ 2 2 1 p + là hợp số.

0,5 0,5 0,5

0,5

b) (2,0đ)

b) Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0.

Ta có : A = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n)

2 2 ( 3 ) A n n ⇒ > + với mọi n ≥ 1 (1) A + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2+ 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2. ( 2) Từ (1) và (2) suy ra: (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2. => A không là số chính phương.

0,5

0,5

0,5

0,5

2 (4,0đ)

a) (2,0đ)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 4 19 x y x + + =

2 2 2 2 2 2 2 3 4 19 2( 2 1) 3(7 ) 2( 1) 3(7 ) x y x x x y x y + + = ⇔ + + = − ⇔ + = −

2 2 3(7 ) 2 7 2 y y ⇔ − ⇔ − ⇔   y là số nguyên lẻ Mà ( ) 2 2 2 2. 1 0 7 0 1 x y y − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ = HS tìm y rồi thay vào tìm x để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); (-4; 1); (-4; -1)

0,5 0,5 0,5

0,5

b) (2,0đ)

b) Giải phương trình: 2 2 5 1 4 5 27 25 + + − = + + x x x x

2 2 5 1 4 5 27 25 + + − = + + x x x x ĐKXĐ x > 2 Bình phương cả hai vế ta có

2 2 10 (x 1)(x 2)(x 2) 25x 25 x 4 27x 25 5x + − + + + + − = + +

0,5

0,5

2 5 (x 1)(x 2)(x 2) x 2 2x + − + = + +

Đặt (x 1)( 2); 2 = + − = + a x b x ; (a > 0, b>0)

Khi đó ta có: 2a2 +3b2 = 5ab => a=b hoặc a =1,5b Giải ra ta có x 5 1 = +

0,5

0,5

3 (4,0đ)

a) (2,0đ)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 M 4x 2y 4xy 4x 2023 = + − − + Ta có: 2 2 M 4x 2y 4xy 4x 2023 = + − − +

⇒ ( ) ( ) 2 2 M 2x y 1 y 1 2021 = − − + − +

Do ( ) 2 2x y 1 0 − − ≥ x,y ∀ và ( ) 2 y 1 0 − ≥ y ∀

Suy ra: ( ) ( ) 2 2 M 2x y 1 y 1 2021 2021 = − − + − + ≥ x,y ∀

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ( )

( )

2

2 2x y 1 0

y 1 0

 − − =  − = 

⇔ x y 1 = =

Vậy GTNN của M 2021 = khi x y 1 = =

0,5

0,5

0,5

0,5

b) (2,0đ)

b) . Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1.

Chứng minh rằng x y z 9 x yz y zx z xy 4 + + ≤ + + +

Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x). Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x) Do đó:

( ) ) )( )( ( ) )( )( ( 2 ) )( )( ( ) ( ) ( ) (

x z z y y x xyz x z z y y x x z z y y x y x z x z y z y x xy z z zx y y yz x x

+ + + + + + + =

+ + + + + + + + = + + + + +

= 2xyz 1 9 2 2 (x y)(y z)(z x) 4 4 + ≤ + = + + + ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai số

dương ta có: (x y)(y z)(z x) 2 xy.2 yz.2 zx 8xyz + + + ≥ = …