Đề chọn đội tuyển HSG Toán 9 vòng 1 năm 2023 - 2024 trường THCS Cầu Giấy - Hà Nội

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY

TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG I

Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (5,0 điểm)

1. Cho

2 2 2 2

2 2 2 2 2 . x y x y x y P x xy x xy xy y x xy y

                     

với 0, 0, . x y x y   

a) Rút gọn biểu thức . P

b) Tính giá trị của biểu thức P biết ,x y thỏa mãn đẳng thức:   2 2 10 2 3 . x y x y    

2. Tìm tất cả các số nguyên tố , , p q r thỏa mãn 2 2 2 ( 1)( 1) 1. p q r    

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình 3 3 2. 1 1 x x x x x x

                           

2. Tìm các cặp số nguyên dương ( ; ) x y thỏa mãn 2 2 9 . xy xy x y   

Bài 3. (4,0 điểm)

1. Cho x và y là các số nguyên dương thỏa mãn 3 x y  và 3 x y  cùng chia hết cho 2 2. x y 

Chứng minh rằng 2 2 x y  là số chính phương.

2. Cho các số dương , , a b c thỏa mãn 2 2 2 3. a b c    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1 1 . 2 2 2 P a b c      

Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( ). AB AC  Vẽ đường cao AH ( ). H BC 

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho . KH HA  Qua K kẻ đường thẳng song song

với , AH cắt đường thẳng AC tại . P

1. Chứng minh rằng tam giác AKC đồng dạng với tam giác . BPC

2. Gọi Q là trung điểm của . BP Chứng minh  . BQH BCP 

3. Tia AQ cắt BC tại .I Chứng minh 1. AH BC HB IB  

Bài 5. (1,0 điểm)

1. Xét tập   1,2,3, ,13 . T   Lập tất cả các tập con hai phần tử trong T sao cho hiệu của hai

phần tử đó là 5 hoặc 8.

2. Cho M là tập con của   1,2,3, ,869 S   có tính chất hiệu hai số bất kỳ của M không là

5 hoặc 8. Hỏi M có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ?

-----------HẾT-----------

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: …………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY

TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG I

Môn thi: Toán Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không tính thời gian phát đề)

BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

1

1

1. Cho

2 2 2 2

2 2 2 2 2 . x y x y x y P x xy x xy xy y x xy y

                     

với

0, 0, x y x y   

a) Rút gọn biểu thức P .

b) Tính giá trị của biểu thức P biết ,x y thỏa mãn đẳng thức:

  2 2 10 2 3 x y x y    

1,5

1.0

a)

2 2 2 2

2 2 2 2 2 . x y x y x y P x xy x xy xy y x xy y

                     

    

2 2 2 2

2 2 2 . x y y x x y xy x y P x x xy y xy x y

         

 

2 2 3 3 2 2

2 2 2 . x y xy y x x y xy x y P x x xy y xy x y

          

1,0

    

2 2

2 2 2 . y x x xy y x y P x x xy y xy x y

        

2 y x P x xy    2y y x P xy    x y P xy   với 0, 0, x y x y   

0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM

b)Tính giá trị của biểu thức P biết ,x y thỏa mãn đẳng thức:

  2 2 10 2 3 x y x y    

Ta có   2 2 10 2 3 x y x y    

2 2 2 1 6 9 0 x x y y       

   

2 2 1 3 0 x y     

Vì    

2 2 1 0 ; 3 0 x x y y      

1 0 1

3 0 3

x x

y y

                     

(TMĐK)

Tại 1, 3 x y   thì    

1 3 2 3 1. 3 P    

Vậy 2 3 P  khi   2 2 10 2 3 x y x y    

0,5

0,5

2

Tìm tất cả các số nguyên tố , , p q r thỏa mãn 2 2 2 ( 1)( 1) 1. p q r     2,5

Do vai trò p và q như nhau nên ta có thể giả sử . p q 

Nếu p và q cùng lẻ thì vế trái chia hết cho 4. Suy ra 2 r chia cho 4 dư 3: vô lý.

Do đó có ít nhất một số chẵn trong p và q. Suy ra 2. p 

1,0

Khi đó có 2 2 5( 1) 1 q r    2 2 5 4 q r   

2 2 24 q r    : loại

0,5

2 3 49 7 q r r      : thỏa mãn 0,5

2 2 3 5 4 q r q     chia hết cho 3 3 r   2 9 5 4 49 q     : vô lý

Vậy 2; 3; 7 3; 2; 7 p q r p q r

        

0,5

2

1

ĐKXĐ: 1 x 

3 3 2 1 1 x x x x x x

                           

2,0