Đề HSG cấp huyện Toán 9 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Nam Trực - Nam Định

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM TRỰC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023

Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Bài 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5 . 2 3 5 2 3 5 A − + = + + + − −

2) Cho biểu thức: 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x P

x x x x x

  + − = + +   − + + −  

, với 0; 1. x x   Hãy so

sánh 2 P và 2 . P Bài 2. (4,0 điểm)

1) Cho 1 ; 1 x y −  và thỏa mãn: 2 2 1 1 1. x y y x − + − = Chứng minh 2 2 1. x y + =

2) Giải phương trình: ( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 1 2 1 . x x x x x + + = + + − − −

Bài 3. (6,0 điểm) Cho đường tròn ( ) O và đường thẳng d (không đi qua tâm O ) cắt đường tròn ( ) O tại

hai điểm B và . C Kẻ đường kính CD của đường tròn ( ) O . Tiếp tuyến tại D của đường tròn

( ) O cắt đường thẳng d tại .A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADO cắt đường tròn ( ) O tại

điểm thứ hai là E và cắt BC tại điểm I .

1) Chứng minh: AE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O và I là trung điểm của . BC

2) Gọi T là giao điểm của DE và . BC Chứng minh: 2 1 1 . AT AB AC = +

3) Chứng minh rằng: , DE OI và tiếp tuyến tại C của đường tròn ( ) O đồng quy.

Bài 4. (3,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn phương trình: 2 2 2 4 3 19. x x y + + =

2) Cho , m n là các số tự nhiên thỏa mãn 2 2 2023 2022 m n − + chia hết cho . mn Chứng

minh rằng: , m n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau.

Bài 5. (3,0 điểm)

1) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: 3 0; ; 5 2 x y z    và

2 2 2 12. 2 9 y z x + +  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 8 2 5. T xy x xz z z = − + + + −

2) Trên bảng ghi bốn số: 2, 3, 5 và 6. Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi

hai số bất kì, chẳng hạn ,a b và thay thế bằng hai số 2 2 a b a b + + + và

2 2 a b a b + − + , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?

---------Hết--------- (Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ) Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:………………………………………. Giám thị 1: ................................................................. Giám thị 2:………………………………………...

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM I. Những điều cần lưu ý:

- Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương. - Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm. - Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn. II. Nội dung

Bài 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: 3 5 3 5 . 2 3 5 2 3 5 A − + = + + + − −

2) Cho biểu thức: 2 1 1 : 2 1 1 1 x x x P

x x x x x

  + − = + +   − + + −  

, với 0; 1. x x   Hãy so

sánh 2 P và 2 . P Câu Nội dung Điểm

1.1

3 5 3 5 2 2 6 2 5 2 6 2 5

A − + = + + + − −

0,25

3 5 3 5 3 5 3 5 − + = + + −

0,5

( ) ( )

2 2 3 5 3 5

9 5

− + + = −

7 =

0,5

7 2. A  = 0,25

1.2 Với 0; 1, x x   ta có:

( )( )

2 1 2 . 1 1 1 1 1

x x P

x x x x x x x

  +   = + −   + + − − − + +  

0,5

( ) ( ) ( )( )

2 1 1 2 .

1 1 1

x x x x x

x x x x

+ + − − + + =

− − + +

( )( )

2 1 2 .

1 1 1

x x x x x

x x x x

+ + − − − − =

− − + +

0,25

( )( )

2 1 2 .

1 1 1

x x

x x x x

− + =

− − + +

0,25

( ) ( )( )

2 1 2 .

1 1 1

x

x x x x

− =

− − + +

0,25

2 . 1 x x =

+ +

0,25

Chứng minh được 0 2. P   0,5

( )

2 2 0 2 . P P P P  −    0,25