Đề khảo sát HSG Toán 9 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Kim Thành - Hải Dương

1

UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 120 phút

(Không kể thời gian giao đề)

(Đề bài gồm 01 trang)

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức: B =  

  



+ + + − +  

  



+ − 1 2 1 1 : 1 2 1 a a a a a a a a , với a ≥ 0; 1 a ≠

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức B khi a = 2023 - 2 2022 .

b) Chứng minh rằng: A = 3 3 56 56 1 1 54 54 + + − là một số nguyên.

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3 3 2 7 3 x x + + − =

b) Giải hệ phương trình:

3 2 3

2 2 2

3

x xy y

x y xy

+ =   + + = 

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Tìm ,a b để đa thức 3 2 ( ) 2 f x x x ax b = + + + chia cho đa thức 1 x − dư 2, chia cho đa thức 2 x − dư 17.

b) Cho , , a b c là ba số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn: 1 1 1 c a b = + . Chứng minh:

M a b = + là số chính phương.

Câu 4 (3,0 điểm).

1) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Kẻ HI vuông góc với AB, HK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC). Chứng minh:

a)

3

3 BI AB CK AC =

b) CK. BH BI. CH AH. BC + = 2) Cho ∆ABC có G là trọng tâm, một đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh

AB, AC lần lượt tại M và N, Chứng minh rằng: 3 AB AC AM AN + =

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho các số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn: xy yz zx xyz + + = . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức: 1 1 1 4 3 4 3 3 4 M x y z x y z x y z = + + + + + + + + .

------------------ HẾT ------------------ Họ và tên học sinh................................................Số báo danh.....................................

Chữ kí của giám thị 1.................................... Chữ kí của giám thị 2............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

UBND HUYỆN KIM THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022- 2023 MÔN: TOÁN – LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm 1

a

a) B =  

  



+ + + − +  

  



+ − 1 2 1 1 : 1 2 1 a a a a a a a a ,

=  

  



+ + − + + + −

) 1 )( 1 (

2

1

1 : 1 1 2

a a

a

a a a a

= ( )

) 1 )( 1 (

2 1 : 1 1 2

a a

a a a a

+ +

− + + −

= ( ) a a a

a a a + = − +

+ + − 1 )1 )( 1 (

) 1 )( 1 ( 1

2

2

Vậy B = 1 a + với a ≥ 0

0,25

0,25

0,25

Khi a = 2023 – 2 2022 = ( 2022 – 1)2 thỏa mãn ĐK.

Ta có A = 1 + ( )

2 2022 1 2022 − =

0,25

b

b) Ta có: A= 3 3 56 56 1 1 54 54 + + −

⇒ A3 = 1 + 56 54 + 1 – 56 54 + 3 56 3 1 54 − .A = 2 + 3 3 2 54 − .A 0.25

⇔ A3 = 2 – A ⇔ A3 + A – 2 = 0 ⇔ (A – 1)(A2 + A + 2) = 0

0.25

Vì A2 + A + 2 > 0 với mọi A. 0.25

Nên ta có A – 1 = 0 ⇔A = 1 là một số nguyên.

Vậy 3 3 56 56 1 1 54 54 + + − là một số nguyên

0.25

2

a

3 3 2 7 3 x x + + − =

( ) 3 3 3 3 2 7 3 2. 7 2 7 27 x x x x x x ⇔ + + − + + − + + − = 0.25

3 9 9. ( 2)(7 ) 27 x x ⇔ + + − =

3 ( 2)(7 ) 2 x x ⇔ + − =

0.25

( 2)(7 ) 8 x x ⇔ + − =

2 5 6 0 x x ⇔ − − = 0.25

1 6 x x = −  ⇔= 

KL....

0.25

3

b

3 2 3

2 2 2 (1)

3 (2)

x xy y

x y xy

+ =   + + = 

Ta thấy y = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm. Do đó 0 ≠ y , chia

cả hai vế của phương trình (1) cho

3y ta được

3 2 0 x x y y  + − =    

0.25

2 1 2 0 x x x y y y

     ⇔ − + + =            

0.25

1 0 ⇔ −= x y (vì

2 2 1 7 2 0 2 4 x x x y y y     + + = + + >        

)

x y ⇔ =

0.25

Hệ phương trình đã cho tương đương với

2 2 2 1 1 3 3 3

x y x y x y x y x y xy x

= = = =    ⇔ ⇔ ⇔   = = − + + = =   

KL:....

0.25

3

a

Do đa thức f(x) = x3 + 2x2 + ax + b chia đa thức x- 1 dư 2

(1) 2 3 2 f a b ⇒ = ⇒ + + = 1 a b ⇒ + = − (1)

0.25 Do đa thức f(x) = x3 + 2x2 + ax + b chia đa thức x- 2 dư 17

(2) 17 2 16 17 f a b ⇒ = ⇒ + + = 2 1 a b ⇒ + = (2)

0.25 Lấy (2) – (1) theo vế 2 a ⇒ = 0.25 Thay 2 a = vào (1) 3 b ⇒ = − 0.25 b

Ta có: ( )( ) 2 1 1 1 0 ab ac bc ab ac bc a c b c c c a b = + ⇔ = + ⇔ − − = ⇔ − − = 0.25

Gọi ( ) ; a c d a c b c d b c d −  − − = ⇒− 

 

Mà ( )( ) 2 2 2 a d a c b c c c d c d b d  − − = ⇒ ⇒ ⇒ 

   

0.25

; ; a d b d c d ⇒   mà a, b, c nguyên tố cùng nhau nên 1 d = . Suy ra : ; a c b c − − …