Chuyên đề chữ số tận cùng

1

CHUYÊN ĐỀ .CHỮ SỐ TẬN CÙNG

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tìm 1 chữ số tận cùng

Tính chất 1:

a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thì chữ số tận cùng vẫn

không thay đổi.

b) Các số có chữ số tận cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng vẫn không

thay đổi.

c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 n n thì chữ số tận cùng

là1.

d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 n n thì chữ số tận cùng

là6.

Chú ý: Muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên

m x a , trước hết ta xác định chữ số tận

cùng của a :

- Nếu chữ số tận cùng của a là 0, 1, 5, 6 thì x cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6.

- Nếu chữ số tận cùng của a là3, 7, 9:

Phân tích: 4 4 . m n r n r a a a a với 0, 1, 2, 3 r

Từ tính chất 1c chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của

r a .

- Nếu chữ số tận cùng của a là 2, 4, 8 : cũng như trường hợp trên

Từ tính chất 1d chữ số tận cùng của x chính là chữ số tận cùng của 6 r a .

Tính chất 2:

Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4 1 n n thì chữ số tận cùng vẫn không

thay đổi.

Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữ số tận cùng

của từng lũy thừa trong tổng.

2

Tính chất 3:

a) Số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 3 n sẽ có chữ số tận cùng là 7; số có chữ

số tận cùng là 7 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 3 n sẽ có chữ số tận cùng là 3.

b) Số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 3 n sẽ có chữ số tận cùng là 8; số có chữ

số tận cùng là 8 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 3 n sẽ có chữ số tận cùng là 2.

c) Các số có chữ số tận cùng là0, 1, 4, 5, 6, 9 khi nâng lên lũy thừa bậc 4 3 n sẽ không thay

đổi chữ số tận cùng.

Tính chất 4:

Nếu a và , 5 1 a thì 100 1 a chia hết cho 125.

Chứng minh:

Do

20 1 a chia hết cho 25 nên 20 40 60 80 , , , a a a a khi chia cho 25 có cùng số dư là 1

20 40 60 80 1 a a a a chia hết cho 5.

Vậy 100 20 80 60 40 20 1 1 1 a a a a a a chia hết cho 125.

* Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận cùng của số k A n với , n k N .

- Giả sử 10 A q r . Khi đó, 10 10 k k t k A q r p r với ; 0 9 r r

Suy ra, chữ số cuối cùng của A chính là chữ số cuối cùng của số

kr .

- Nếu 100 A a bc abc thì bc là hai chữ số cuối cùng của A .

- Nếu 1000 A a bcd abcd thì bcd là ba chữ số cuối cùng của A .

- Nếu 1... 0 1 0 10 . ... m

m m m A a a a a a a thì 1... 0 m a a là m chữ số cuối cùng của A .

2. Tìm hai chữ số tận cùng

Việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên x chính là việc tìm số dư của phép chia x

cho 100.

Phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên

n x a :

Trước hết, ta có nhận xét sau:

20 2 76 mod 100

20 01 mod 100 3

3

5 76 mod 100 6

4 7 01 mod 100

Mà: 76 mod 100 76n với 1 n ,

5 25 mod 100 n với 2 n .

Suy ra kết quả sau với * : k

20 00 mod 100 k a nếu 0 mod 10 a ,

20 01 mod 100 k a nếu 1; 3; 7; 9 mod 10 a ,

20 25 mod 100 k a nếu 5 mod 10 a ,

20 76 mod 100 k a nếu 2; 4; 6; 8 mod 100 a .

Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của

n a ta lấy số mũ n chia cho 20.

Dạng 1.

- Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng

01; 25; 76

- Các số

20 3 (hoặc 5 81 ); 4 2 2 7 ; 51 ; 99 có tận cùng bằng 01.

- Các số 20 5 4 2 4 2 ; ; ; 2 6 18 ; 24 8 ; 6 74 có tận cùng bằng 76.

- Số 26 1 n n có tận cùng bằng 76.

- Các số có chữ số tận cùng là 01;25;76 khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì khác 0 thì hai chữ số tận

cùng vẫn không thay đổi. (1)

- Các số 20 4 10 2 5 2 3 ;7 ;9 ;51 ;81 ;99 có chữ số tận cùng là 01. (2)

- Các số 10 5 4 2 4 2 4 ;6 ;18 ;24 ;68 ;74 có chữ số tận cùng là 76. (3)

- Số26 ( 1) n n có chữ số tận cùng là 76. (4)

Như vậy, muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên

m x a , trước hết ta xác định chữ số tận cùng

của a.

Dạng 2. CHÚ Ý:

-

10 4 có 2 chữ số tận cùng là 76.

-

25 có 2 chữ số tận cùng là 25.