Tài liệu dạy thêm - học thêm chuyên đề bội và ước của một số nguyên

1

CHỦ ĐỀ 3.4.BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Với ,b a Z  và 0. b  Nếu có số nguyên q sao cho . a b q  thì ta ta có phép chia hết : a b q  (trong

đó ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia, q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho b , kí hiệu là

 a b .

Khi  a b ( ,b a Z  , 0 b  ) ta còn gọia là bội của b và b là ướccủa a .

2. Nhận xét

- Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0. Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào.

- Các số 1 và 1  là ước của mọi số nguyên.

3. Tính chất

Có tất cả các tính chất như trong tập .

-Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c .

 a b và   b c a c 

- Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b .

  a b ka b  (  k  )

- Nếu a , b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c .

    , ; . a c b c a b c a b c   

- Nếu a , b chia cho c cùng số dư thì – a b chia hết cho c .

Nhận xét:

- Nếu a chia hết cho b , b chia hết cho a thì . a b 

- Nếu a chia hết cho hai số , m n nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho . m n .

- Nếu n a chia hết cho số nguyên tố p thì a chia hết cho p .

- Nếu ab chia hết cho m và , b m nguyên tố chung nhau thì a chia hết cho m .

- Trong n số nguyên liên tiếp có đúng một số chia hết cho n .

II. CÁC DẠNG BÀI

Dạng 1. Tìm bội và ước của số nguyên

I. Phương pháp giải

-Tập hợp các bội của số nguyên a có vô số phần tử và bằng   . | . k a k Z 

- Tập hợp các ước số của số nguyên a   0 a  luôn là hữu hạn.

Cách tìm:

2

Trước hết ta tìm các ước số nguyên dương của phần số tự nhiên a (làm như trong tập số tự nhiên),

chẳng hạn là , , r. p q Khi đó , , p q r    cũng là ước số của a. Do đó các ước của a là , , p q r ,

– , – , – p q r .

Như vậy số các ước nguyên của a gấp đôi số các ước tự nhiên của nó.

- Số ước nguyên dương của số m n t a = x y ….z là      m + 1 . n + 1 … t + 1

II. Bài toán

A. TRẮC NGHIỆM

Bài 1.Khi nào ta nói a là bội của b ?

A. a b  B. b a  C. a b D. b a

Lời giải

Đáp án: A

Bài 2.Hãy nêu cách tìm bội của một số:

A. nhân số đó lần lượt với 1; 2; 3;......

B. nhân số đó lần lượt với 0;1; 2; 3;......

C. chia số đó lần lượt cho 1; 2; 3;......

D. chia số đó lần lượt cho 0;1; 2; 3;......

Lời giải

Đáp án: B

Bài 3.Hãy chỉ ra số là ước của tất cả các số:

A. 0 B. 2 C.1 D.3

Lời giải

Đáp án: C

Bài 4.Số 28 có bao nhiêu ước nguyên?

A. 4 B. 6 C. 10 D.12

Lời giải

Đáp án: D

Giải thích: ta có 2 28 2 .7 

Số các ước nguyên dương của số 28 là    2 + 1 . 1 + 1 = 3.2 = 6

Số các ước của 28 là 6.2 12 

Bài 5. Các số có 2 chữ số là ước của 60 là:

A. 10; 20; 35; 60

B. 10; 12; 15; 20; 40; 60

   

     

C. 10; 12; 15; 20; 30; 60

D. 10; 20; 40; 60

     

   

Lời giải

Đáp án: C

Bài 6. Hãy tìm các số   x B 12  và 20 < x < 50

     

A. x 24; 36; 48 B. x 20; 24; 36

B. x 24; 36; 50 D. x 12; 24

 

   ; 36

3

Lời giải

Đáp án: A

B. TỰ LUẬN

Bài 1.Tìm năm bội của: 3 ; -3.

Lời giải

Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng 3.m( m  ), nghĩa là: 0 ; -3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ;

Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là :3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15.

Bài 2. Tìm năm bội của 2 và -2.

Lời giải

Muốn tìm một bội của 2, (-2) ta nhân 2, (-2) với một số nguyên nào đó. Chẳng hạn:

Năm bội của 2 là :     2 . 1 2; 2 . 1 -2; 2 . 2 4; 2. 2 - 4; 2 . 3 6.       

Năm bội của -2 là : 2 ; 2 ; -4 ; 4 ; - 6  .

Tổng quát: Các bội của 2 và -2 có dạng là 2.q với q : 0 ; -2 ; 2 ; -4 ; 4 ; -6 ; 6 ; -8 ; 8 ; 

Bài 3. Tìm các bội của 7 ; 7. 

Lời giải

      

B 7 0; 7; 14; 21; 28;

B 7 0; 7; 14; 21; 28;

     

      

Bài 4. Tìm tất cả các ước của -2, 4, 13, 15, 1

Lời giải

Các ước của -2 là : -1 , 1 ,-2 , 2.

Cấc ước của 4 là : -1 , 1 , -2 , 2 , -4 , 4.

Các ước của 13 là : -1 , 1 , -13 , 13

Các uớc của 15 là : -1 , 1 , -3 , 3 , -5 , 5 , -15 , 15.

Các ước của 1 là : -1 , 1.

Bài 5.Tìm tất cả các ước của - 3 ; 6 ; 11 ; -1.

Lời giải

Kí hiệu U(a) là tập hợp các ước của số …