Chuyên đề sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác Toán 7

A

d

CHUYÊN ĐỀ

SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Đường trung trực của tam giác:

Định nghĩa: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Định lí 1: Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Nhận xét: Vì giao điểm của ba đường trung trực của tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác nên là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh tam giác đó.

Tính chất: ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì nó cũng là đường trung trực của BC

Cụ thể:

a) Cho ∆ABC , (d ) là đường trung trực của cạnh BC thì (d ) gọi là đường trung trực của ∆ABC

ứng với cạnh BC .

B C

b) Trong hình sau, điểm O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC. Ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

A

O

B C

c) ΔABC cân tại A , AM là đường trung tuyến thì cũng là đường trung trực của BC

E F

H

K

L

H

A

C M B

2. Đường cao của tam giác:

Định nghĩa: Đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh tam giác và vuông góc với cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.

Định lí 2: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Cụ thể:

a) AH là một đường cao của ∆ABC ⇔ AH ⊥ BC

A

B H C

b) Trong hình vẽ AD, BE,CF là các đường cao, H là trực tâm của ∆ABC .

A

B D C

Chú ý:

a) ∆ABC là tam giác nhọn thì H nằm trong tam giác.

A

B H C

K

L

A

b) ∆ABC là tam giác vuông tại A thì điểm H trùng với điểm A .

B

A≡H C

c) ∆ABC là tam giác tù thì điểm H nằm ngoài tam giác.

H

B I C

3. Bổ sung:

Tính chất trong tam giác cân: ΔABC cân tại A, AM là đường cao thì nó cũng là đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác.

A

B M C

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

Dạng 1. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

I. Phương pháp giải:

- Dựa vào định nghĩa và sự đồng quy của ba đường trung trực trong tam giác.

- Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

I

A

d

1. Cho ∆ABC , (d ) là đường trung trực của cạnh BC thì (d ) gọi là đường trung trực của ∆ABC

ứng với cạnh BC .

B C

2. Điểm O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC. Ta có OA = OB = OC. Điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

A

O

B C

II. Bài toán.

Bài 1. Chọn đáp án đúng. Điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác là giao điểm của:

A. 3 đường trung tuyến.

B. 3 đường phân giác.

C. 3 đường trung trực.

D. 3 đường cao.

Lời giải:

Điểm nằm trong và cách đều 3 đỉnh của tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực. Chọn đáp án C.

Bài 2. Chọn đáp án đúng.

a) Cho ∆ABC tù, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:

A. trong ∆ABC .

B. ngoài ∆ABC .

C. trên 1 cạnh của ∆ABC .

D. trùng với 1 đỉnh của ∆ABC .

b) Cho ∆ABC có A = 90° thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

A. nằm trong

B. nằm ngoài

∆ABC

∆ABC

C. là trung điểm của cạnh BC

D. trùng với đỉnh A của ∆ABC

c) Cho ∆ABC nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm:

A. trong

B. ngoài

∆ABC

∆ABC

C. trên một cạnh của ∆ABC

D. trùng với một đỉnh của ∆ABC

Lời giải:

a) Cho án B

∆ABC nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm trong ∆ABC . Chọn đáp

b) Cho ∆ABC có A = 90 thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh BC . Chọn đáp án C.

c) Cho án A.

∆ABC nhọn, giao điểm 3 đường trung trực của tam giác nằm trong ∆ABC . Chọn đáp

Bài 3. Cho ΔABC . Vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C và vẽ đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác trong mỗi trường hợp sau:

a, ΔABC là tam giác nhọn.

b, ΔABC vuông tại A .

c, ΔABC là tam giác tù.

Lời giải:

a, ΔABC là tam giác nhọn.

b, ΔABC vuông tại A .