Chuyên đề tam giác cân, đường trung trực của đoạn thẳng Toán 7

1

CHUYÊN ĐỀ 16: TAM GIÁC CÂN

ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG

PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT.

1. Tam giác cân

a. Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

ABC cân tại A  ABC AB AC

b. Tính chất: Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Ngược lại một tam giác có hai góc ở đáy bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

ABC cân tại A  B C

c. Dấu hiệu nhận biết:

- Tam giác có hai cạnh bằng nhau thì đó là tam giác cân.

- Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

2. Tam giác vuông cân

a. Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.

ABC vuông cân tại A  90

ABC

A AB AC

b. Tính chất: Mỗi góc nhọn của tam giác vuông cân bằng 45o

ABC vuông cân tại A 45o B C

3. Tam giác đều

a. Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau

ABC đều  ABC AB BC CA

A

B C

C B

A

2

b. Tính chất: Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60 . c. Dấu hiệu nhận biết

- Tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

- Nếu một tam giác có ba góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

- Nếu một tam giác cân có một góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều.

4. Đường trung trực của đoạn thẳng

a. Định nghĩa đường trung trực:

Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Trên hình vẽ bên, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ta cũng nói: A đối xứng B qua d .

b. Tính chất: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

c. Nhận xét: Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

MA MB M thuộc đường trung trực của AB.

d. Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI.

Dạng 1. Chứng minh tam giác cân, tam giác đều và sử dụng tính chất của tam giác cân,

tam giác đều để giải quyết bài toán.

I. Phương pháp giải:

Dựa và dấu hiệu nhận biết của tam giác cân, tam giác đều. Dựa vào tính chất của tam giác cân, tam giác đều để tính số đo góc hoặc chứng minh các góc bằng nhau, các cạnh bằng nhau.

II. Bài toán.

A

B C

B

M

A

d

3

Bài 1. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Lời giải:

a) Xét ABC  có: AB AC BC = = nên ABC  đều

Xét ACM  có: AC CM = nên ACM  cân tại C

b) Trong DFK  có 180 K D F + + = 

Ta có = − − =  180 50 K F D

 = K F

DFK cân tại D .

c) Xét IGH  có: IG GH = nên IGH  cân tại G

Mà 60 GIH =  nên IGH  đều

Xét EGH  có: EG EH = nên EGH  cân tại E

Bài 2. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, hình nào là tam giác đều? Giải thích tại sao?

Lời giải:

a) Trong DEH  có DE DH DEH =  cân tại D .

Ta có ; DE DH = EF HG =

DE EF DH HG  + = +

 = DF DG

DFG cân tại D .

b) Ta có MO MP PO MPO = =  đều.

M C B

A

F

80°

50°

K

D I

H G

E

60°

G

F

H

E

D N L P O

M

4

Lại có LO MO LOM =  cân tại O

MP PN MPN =  cân tại P .

Vì MOP  đều nên = =  60 POM MPO

Mà 180 MOP MOL + = (hai góc kề bù); 180 MPO MPN + = (hai góc kề bù)

MOL MPN  =

Xét MOL  và MPN  ta có:

MOL MPN = (cmt), OL PN = (gt), = MO MP (gt)

Suy ra MOL MPN  =  (c.g.c)

Do đó ML MN LMN =  cân tại M .

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A . Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC nếu biết:

a) A = 40°; b) B = 50°; c) C = 60°.

Lời giải:

a) Trong ABC  có 180 A B C + + = 

180 180 40 140 B C A  + = − = − = 

Mà B C = (Vì ABC  cân tại A )

140 70 2 B C   = = = 

b) Trong ABC  có 180 A B C + + = 

Mà ABC  cân tại A 50 B C  = = 

180 2. 108 2.50 80 A B  = − = − = 

c) Trong ABC  có 180 A B C + + = 

Mà ABC  cân tại A 60 B C  = = 

180 2. 180 2.60 60 A C  = − = − = 

Bài 4. Tìm số đo x trong hình vẽ sau:

Lời giải:

x D

C

B

A