Chuyên đề tính chất ba đường trung trực của tam giác

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI 8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm được tính chất đường trung trực của tam giác cân.

+ Nắm được tính chất ba đường trung trực tam giác.

 Kĩ năng

+ Vận dụng tính chất ba đường trung trực của tam giác để giải toán.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Tính chất ba đường trung trực của tam giác

+ Trong một tam giác, đường trung trực của một cạnh

được gọi là một đường trung trực của tam giác đó.

+ Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một

điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm này chính là tâm đường tròn đi qua 3 đỉnh của

tam giác (ta gọi đường tròn này là đường tròn ngoại

tiếp tam giác).

Chứng minh ba đường trung trực của tam

giác cùng đi qua một điểm:

Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực

ứng với các cạnh AB và AC của ABC  .

Đường trung trực của tam giác đặc biệt

+ Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với

cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân

giác xuất phát từ đỉnh đối diện.

+ Trong một tam giác, nếu hai trong ba đường (đường

trung tuyến, đường phân giác xuất phát từ một đỉnh

và đường trung trực ứng với cạnh đối diện của đỉnh

này) trùng nhau thì tam giác đó cân.

Vì O nằm trên đường trung trực AB nên

OA OB  .

Vì O nằm trên đường trung trực của AC nên

OA OC  .

Từ (1) và (2), ta có ( ) OB OC OA   .

Suy ra O nằm trên đường trung trực của cạnh

BC (tính chất đường trung trực)

Vậy ba đường trung trực của ABC  cùng đi

qua điểm O và OA OB OC   .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất:

+ Giao điểm các đường trung trực trong tam giác

thì cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

+ ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại

một điểm.

Do đó để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác, ta đi xác định giao điểm của hai đường trung

trực.

Ví dụ: Cho ABC  có 6cm AB  , 8cm BC  .

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  .

Hướng dẫn giải

Lấy D là trung điểm của AB

3cm BD   .

Qua D kẻ đường thẳng 1d AB  .

Trang 3

Lấy E là trung điểm của 4cm BC BE   .

Qua E kẻ đường thẳng 2 d BC  .

1d cắt 2 d tại O thì O chính là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC  .

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm của cạnh

huyền.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có   o 90 B C   .

Gọi D là giao điểm của các đường trung trực cạnh AB

và AC.

Ta có EA EC  . Khi đó DE cũng là đường trung tuyến

ADC  nên ADC  cân tại D.

   o 3 4 90 D D C     và AD DC  .

FA FB  và FD AB DAB   cân tại D

   o 1 2 90 D D B     và AD BD  .

Do đó           o o 1 2 3 4 2 90 2 90 D D D D B C       

      o o o o 2 180 2 180 90 180 B C      

, , B D C  thẳng hàng D  nằm trên BC.

Mà BD AD  và AD DC  nên BD DC D   là trung điểm của BC hay giao điểm của ba

đường trung trực của ABC  nằm trên trung điểm cạnh huyền.

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Cho ABC  có  A là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo

thứ tự ở D và E.

a) Các , ABD ACE   là tam giác gì?

b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ?

Đáp án

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Xét DAB  có DM là trung trực của AB

DAB  cân tại D

Tương tự ta có EAC  cân tại E.

b) Xét OAB  có OM là trung trực của AB OAB  cân tại O