Chuyên đề quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.

CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

BÀI 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC.

BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Phát biểu được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác.

 Kĩ năng

+ Vận dụng được định lí và hệ quả của bất đẳng thức tam giác trong các bài toán.

Trang 2

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định lí

Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ

cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Hệ quả

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ

cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của

hai cạnh còn lại.

Cho ABC  ta có các bất đẳng thức sau:

• . AB AC BC  

• . AB BC AC  

• . AC BC AB  

. AB AC BC AB AC    

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Sử dụng điều kiện tồn tại một tam giác dựa vào yếu tố độ dài ba cạnh

Phương pháp giải

- Ba đoạn thẳng a, b, c lập thành một tam giác nếu

a b c

b a c

c a b

       

hoặc . b c a b c    

- Trong trường hợp xác định được a là số lớn nhất

trong ba số a, b, c thì điều kiện tồn tại tam giác chỉ

cần a b c  

Bước 1. Dựa vào bất đẳng thức tam giác xét các

trường hợp

a b c

b a c

c a b

       

hoặc . b c a b c    

Bước 2. Lựa chọn giá trị thích hợp.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có

1 , 7 . BC cm AC cm   Tìm độ dài cạnh AB, biết độ

dài này là một số nguyên (cm).

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh AB là x (cm)   0 . x 

Theo bất đẳng thức trong tam giác ABC, ta có

BC AC AB BC AC    

1 7 1 7 6 8. x x       

Vì x là số nguyên nên 7. x 

Vậy độ dài cạnh 7 . AB cm 

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Cho tam giác ABC cân. Tính AC, BC biết chu vi tam giác ABC là 23 cm và 5 . AB cm 

Trang 3

Hướng dẫn giải

- Nếu AB là cạnh bên và ABC  cân tại A, ta có 5 . AB AC cm  

Do chu vi tam giác ABC bằng 23 cm nên

      23 23 5 5 13 13 5 8 5 BC AB AC cm BC AB AC               hay BC AB AC  

(không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

- Nếu AB là cạnh bên và ABC  cân tại B ta có 5 13 . AB BC cm AC cm    

Lại có   13 5 5 AC AB BC     (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

- Nếu AB là cạnh đáy thì ABC  cân tại C.

Suy ra     23 5 : 2 9 AC BC cm     (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).

Vậy   9 . AC BC cm  

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Bộ ba độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác?

a) 3cm; 4cm; 5cm. b) 2m; 3m; 6m.

Câu 2: Cho tam giác MNP với hai cạnh 1 , 3 . MN cm NP cm   Hãy tìm độ dài cạnh MP, biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm). Tam giác MNP là tam giác gì?

Câu 3: Tính chu vi của tam giác cân ABC biết

a) 7 , 13 . AB cm AC cm   b) 5 , 12 . AB m AC m  

Dạng 2: Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài

Phương pháp giải

- Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các biến đổi về

bất đẳng thức.

- Cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức

. a b a c b c     

- Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều

. a b a c b d c d

        

Ví dụ: Cho tam giác ABC, điểm N thuộc cạnh AB.

a) So sánh NC với . AN AC 

b) Chứng minh . NB NC AB AC   

Hướng dẫn giải

a) Xét , ANC  ta có

NC AN AC   (bất đẳng thức tam giác).

b) Theo câu a) ta có