Lý thuyết, các dạng toán và bài tập đa giác và diện tích đa giác

Chương II

ĐA GIÁC

DIỆN TÍCH ĐA GIÁC

§1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1. Định nghĩa

Đa giác 1 2... n A A A là hình gồm n đoạn thẳng 1 2 2 3 1 , ,..., n A A A A A A trong đó bất kì đoạn

thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.

Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa

bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Chú ý. Từ nay khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác

lồi.

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Ngũ giác

2. Tính chất

Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng ( ) 0 2 .180 n − hay ( ) 2 .2 n v − .

Mỗi góc của đa giác đều n cạnh bằng ( )

0 2 .180 n

n

− .

Lục giác đều

B. CÁC DẠNG TOÁN

A

E B

D C

Dạng 1. NHẬN BIẾT ĐA GIÁC

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa đa giác.

Ví dụ 1. Cho ngũ giác ABCDE . Kẻ các đường chéo , AC AD . Kể tên các đa giác có

trong hình vẽ.

Giải

Có ba tam giác là , , ABC ACD ADE .

Có hai tứ giác là , ABCD ACDE .

Có một ngũ giác là ABCDE .

Dạng 2. TÍNH CHẤT VỀ GÓC CỦA ĐA GIÁC

Phương pháp giải

Tổng các góc của đa giác n cạnh bằng ( ) 2 .2 n v − hay ( ) 0 2 .180 n − .

Ví dụ 1. Chứng minh định lí: Tổng số đo các góc của hình n −giác bằng ( ) 0 2 .180 n − .

Giải

Xét hình n −giác 1 2... n A A A . Kẻ các đường chéo xuất phát từ 1A , ta được 2 n − tam giác

(có cạnh đối diện với A là: 2 3 3 4 1 , ,..., n n A A A A A A − ).

Tổng số đo các góc của n −giác bằng tổng số đo các góc của 2 n − tam giác trên. Mỗi

tam giác đó có tổng số đo góc bằng 0 180 .

Vậy Tổng số đo các góc của hình n −giác bằng ( ) 0 2 .180 n − .

B

A C

E D

Dạng 3. TÍNH CHẤT VỀ SỐ ĐƯỜNG CHÉO CỦA ĐA GIÁC

Phương pháp giải

Trước hết xét số đường chéo xuất phát từ một đỉnh.

Ví dụ 1. Tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác, hình n −giác.

Giải

(Đối với hình n −giác 1 2... n A A A ) từ đỉnh 1A chẳng hạn, vẽ được 3 n − đường chéo:

1 3 1 4 1 1 , ,..., n A A A A A A − (nối 1A với các đỉnh của đa giác, trừ ba đỉnh 1 2 , , n A A A ).

Với n đỉnh, có ( ) 3 n n − đường chéo, trong đó mỗi đường chép đã được tính hai lần.

Vậy số đường chéo là ( ) 3

2

n n − .

Dạng 4. ĐA GIÁC ĐỀU

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa đa giác đều, công thức tính góc của đa giác đều.

Ví dụ 1. (Bài 2 SGK)

Cho ví dụ về đa giác không đều trong mỗi trường hợp sau:

a) Có tất cả các cạnh bằng nhau.

b) Có tất cả các góc bằng nhau.

Giải

a) Hình thoi ABCD với  0 90 Α ≠ có các cạnh bằng nhau nhưng không là đa giác đều

(vì các góc không bằng nhau).

b) Hình chữ nhật ABCD với AB AD > có các góc bằng nhau nhưng không là đa giác

đều (vì các cạnh không bằng nhau).

Ví dụ 2. (Bài 3 SGK)

Cho hình thoi ABCD với  0 60 Α = . Gọi , , , E F G H lần lượt là trung điểm của cạnh

, , , . AB BC CD DA Chứng minh rằng đa giác EBFGDH là lục giác đều.

Hướng dẫn

Chứng minh lục giác EBFGDH có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau ( ) 0 120 .

Ví dụ 3. (Bài 5 SGK)

Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n −giác đều.

Đáp số

( )

0 0 0 2 .180 108 ,120 , . n

n

−

C. LUYỆN TẬP

1. (Dạng 1). Cho lục giác ABCDEF . Kẻ các đường chéo , , AC AD AE . Kể tên các đa

giác trong hình vẽ.

2. (Dạng 2). Tính tổng số đo các góc của đa giác 12 cạnh.

3. (Dạng 2). Tính số cạnh của đa giác có tổng số đo các góc bằng 0 1080 .

4. (Dạng 2). Ta gọi góc ngoài của đa giác là góc kề bù với một góc của đa giác. Ta

coi ở mỗi đỉnh của đa giác có một góc ngoài.

a) Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của bất kì của đa giác nào cũng bằng 0 360 .

b) Đa giác nào có tổng các góc trong gấp đôi tổng các góc ngoài?

5. (Dạng 3). Đa giác nào có số đường chéo:

a) Bằng số cạnh?

F

G H

E

B

D

A C