Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

2

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

Lời nói đầu 1

Chủ đề 1. Hằng đẳng thức 3

Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 19

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 58

Chuyên đề 4: Phương trình đại số 111

Chuyên đề 5: Đồng nhất thức 131

Chuyên đề 6: Bất đẳng thức 157

Chuyên đề 7: Đa thức 175

Chuyên đề 8: Hình học 186

Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC

A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1. 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 4 ( ) 4 a b a ab b a ab b ab a b ab + = + + = − + + = − +

2. 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 4 ( ) 4 a b a ab b a ab b ab a b ab − = − + = + + − = + −

3. 2 2 ( )( ) a b a b a b − = − +

4. 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 3 3 ( ) ( ) 3 ( ) a b a a b ab b a b ab a b a b a b ab a b + = + + + = + + + ⇒ + = + − +

5. 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 ( ) 3 3 3 ( ) ( ) 3 ( ) a b a a b ab b a b ab a b a b a b ab a b − = − + − = − − + ⇒ − = − + −

6. 3 3 2 2 ( )( ) a b a b a ab b − = − + +

7. 3 3 2 2 ( )( ) a b a b a ab b + = + − +

Bài 1:

a) Tính 2 2 2 2 2 2 100 99 98 97 ... 2 1 A = − + − + + −

b) Tính ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 .... 1 . n B n = − + − + − + −

Lời giải

a) Ta có:

2 2 2 2 2 2 101.100 100 99 98 97 ... 2 1 (100 99)(100 99) ... (2 1)(2 1) 100 ... 1 5050 2 A = − + − + + − = − + + + − + = + + = =

b) Ta xét hai trường hợp

- TH1: Nếu n chẵn thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 3 ... 1 1 2 3 4 ... 1 2 n n B n n n n +   = − + − + + − − = + + + + + − + =  

- TH1: Nếu n lẻ thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 3 ... 1 2 1 2 3 4 ... 1 2 n n B n n n n n +   = − + − + + − − − − = + + + + + − − = −  

⇒Hai kết quả trên có thể dùng công thức:( ) ( ) 1 1 . 2

n n n + −

Bài 2: So sánh 19999.39999 A = và 2 29999 B =

Lời giải

Ta có: 2 2 2 19999.39999 (29999 10000)(29999 10000) 29999 10000 29999 A B = − + = − < ⇒ <

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

a. 2 64 (2 1)(2 1)...(2 1) 1 A = + + + +

b. 2 64 (3 1)(3 1)...(3 1) 1 B = + + + +

c. 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) C a b c a b c a b = + + + + − − +

Sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Lời giải

a. 2 64 2 64 128 128 (2 1)(2 1)...(2 1) 1 (2 1)(2 1)(2 1)...(2 1) 1 2 1 1 2 A = + + + + = − + + + + = −+ =

b.

128 2 64 2 64 128 1 1 3 1 (3 1)(3 1)...(3 1) 1 (3 1)(3 1)(3 1)...(3 1) 1 (3 1) 1 2 2 2 B + = + + + + = − + + + + = − + =

c. Ta có:

2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) ( ) 2( )( ) ( ) 2( )( ) C a b c a b c a b a b c a b c a b c a b c a b c a b c = + + + + − − + = + + − + + + − + + − − + + + −

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 -2 4( ) 2( ) 2 2( ) 2 a b a b c a b c a b c a b a b a b c a b c   − + = + + + + − − + − + = + − + + − + =   Bài 4: Chứng minh rằng

a. ( ) 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) a b x y bx ay ax by + + = − + +

b. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) ( ) a b c x y z ax by cz bx ay cy bz az cx + + + + − + + = − + − + −

Lời giải

a. Ta có: VT = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) (ax) ( ) a b x y a x a y b x b y bx ay by + + = + + + = + + +

( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 . ( ) 2 . (ax) ( ) ( ) ( ) bx bx ay ay bx ay by bx ay ax by dpcm = − + + + + = − + +

b. VT = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 2 z z a b x y a b z c x y z ax by ax by c c   + + + + + + + − + + + +  

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 2 . ax by bx ay az bz cx cy cz ax by cz ax cz by cz + + − + + + + + − + − − −

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) [(cy) 2 . ( ) ]+(az) ( ) 2 . ( ) ( ) ( ) bx ay by cz bz cx az cx bx ay cy bz az cx = − + − + + − = − + − + −

Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.

Bài 5: Cho 2 2 2. = + x y z Chứng minh rằng: 2 (5 3 4 )(5 3 4 ) (3 5 ) − + − − = − x y z x y z x y Lời giải

VT = 2 2 2 2 2 (5 3 ) 16 25 30 9 16 x y z x xy y z − − = − + −

Mà: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 30 9 16( ) 9 30 25 (3 5 ) ( ) z x y VT x xy y x y x xy y x y dpcm = − ⇒ = − − − − = − + = −

Bài 6: Cho ( )( ) ( )( ) a b c d a b c d a b c d a b c d + + + − −+ = − + − + −− . Chứng minh rằng: ad = bc

Lời giải

VT = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 = ( ) 2 2 a d b c a d b c a d b c a d ad b c bc + + + + − + …