Chuyên đề thể tích của hình hộp chữ nhật

THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

A. BÀI GIẢNG CỦNG CỐ KIẾN THỨC NỀN

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC.

Ví dụ 1: Quan sát hình hộp chữ nhật ở hình 84:

- A A  có vuông góc với AD hay không? Vì sao?

- A A  có vuông góc với AB hay không? Vì sao?

 Giải

Ta lần lượt có:

- A A  có vuông góc với AD, bởi ADD A  là hình chữ nhật.

- A A  có vuông góc với AB, bởi ABB A  là hình chữ nhật.

 Tổng kết và mở rộng:

1. Khi đường thẳng A A  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AD và AB trong mặt phẳng   ABCD

ta nói A A  vuông góc với mặt phẳng   ABCD và kí hiệu   AA ABCD  .

2. Khi một trong hai mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại thì người ta nói

hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau, ví dụ     AA B B ABCD   bởi mặt phẳng   AA B B  chứa đường

thẳng AA vuông góc với   ABCD .

 Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng tại điểm A thì nó vuông góc với mọi

đường thẳng đi qua A và nằm trong mặt phẳng đó.

Ví dụ 2: Tìm trên hình 84:

- Các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng   ABCD .

- Các mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) A B C D .

 Giải

Ta lần lượt có:

- Các đường thẳng A A , B B , C C  , D D  vuông góc với mặt phẳng   ABCD .

- Các mặt phẳng   A ABB  ,   B BCC  ,   C CDD  ,   D DAA   vuông góc với mặt phẳng   A B C D .

2. CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT.

Với hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c ta có:

 Diện tích xung quanh:

  2 xq S a b c   .

 Diện tích toàn phần:

    2S 2 2a 2 tp xq d S S a b c b ac bc ab         .

 Thể tích:

V abc  .

Đặc biệt: Thể tích của hình lập phương cạnh a là:

3 V a  .

Ví dụ 3: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật biết ba kích thước bằng 3cm, 4cm, 5cm.

 Giải

Ta có ngay: 3 3.4.5 60 V cm   .

Ví dụ 4: Cho hình lập phương 1 1 1 1 . ABCD A B C D . Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể

tích của hình lập phương đó, biết:

a) 6 AB cm  b) 4 2 AC cm  c) 1 3 3 AC cm 

 Giải

a) Ta có ngay:

 Diện tích xung quanh: 2 2 2 4 4.6 144 xq S a cm    .

 Diện tích toàn phần: 2 2 2 6 6.6 216 tp S a cm    .

 Thể tích: 3 3 3 6 216 V a cm    .

b) Để tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết số

đo cạnh của nó.

Trong ABC  vuông cân tại B, ta có:

2 2 2 2 2 32 4 AC AB BC a a a cm        .

Khi đó, hình lập phương 1 1 1 1 . ABCD A B C D có:

 Diện tích xung quanh: 2 2 2 4 4.4 64 xq S a cm   

 Diện tích toàn phần: 2 2 2 6 6.4 96 tp S a cm   

 Thể tích: 3 3 3 4 64 V a cm    .

c) Để tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lập phương, ta cần biết số

đo cạnh của nó.

Trong 1 ACC  vuông tại C, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 27 3a 3 C A AC C C AB BC C C a a cm          

Khi đó, hình lập phương 1 1 1 1 . ABCD A B C D có:

 Diện tích xung quanh: 2 2 2 4 4.3 36 xq S a cm    .

 Diện tích toàn phần: 2 2 2 6 6.3 54 tp S a cm   

 Thể tích: 3 3 3 3 27 V a cm    .

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng toán 1: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

VÍ DỤ 1: Hình 87.

1. Gấp hình a) theo các nét đã chỉ ra thì có được một hình hộp chữ nhật hay không?

2. Kí hiệu các đỉnh hình hộp gấp được như hình b).

a) Đường thẳng BF vuông góc với mặt phẳng nào?

b) Hai mặt phẳng   AEHD và   CGHD vuông góc với nhau, vì sao?

 Hướng dẫn: Ta lần lượt:

 Với câu 2), sử dụng các định nghĩa về quan hệ vuông góc trong không gian.

 Giải

a) Ta có:

ABFE và BCGF là các hình chữ nhật.

Suy ra, BF AB  và BF BC  .

Lại có:

AB và BC đều thuộc   ABCD và cắt nhau tại B.

Do đó:

  BF ABCD  .

Tương tự   BF EFGH  .

Vậy, BF vuông góc với hai mặt phẳng   ABCD và   EFGH .

b) Ta có:

    AEHD CGHD  .

Lại có, AD cùng vuông góc với hai đường thẳng DC và   DH CGHD  và   AD CGHD  .