Chuyên đề tính chất đường phân giác của tam giác

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định lý

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai

cạnh kề hai đoạn ấy.

  . ABC DB AB DC AC BAD CAD

     

2. Chú ý

* Định lý vẫn đúng với đối với đường phân giác góc ngoài của tam giác.

    . ABC AB AC EB AB EC AC BAE CAE

      

* Các định lý trên có định lý đảo

DB AB AD DC AC   là đường phân giác trong của tam giác.

EB AB AE EC AC   là đường phân giác ngoài của tam giác.

II. BÀI TẬP MINH HỌA

A.DẠNG BÀI CƠ BẢN

DẠNG 1. Tính độ dài đoạn thẳng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng và sử dụng kĩ thuật đại

số hóa hình học.

6 5

Hình 286

E C D

A

5t

4t

4

5

Hình 287

D

A

B C

24cm

Hình 288 E C

A

B

 Áp dụng định lí Py-ta-go.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có 5 , 7 AB cm BC cm   và 6 CA cm  . Tia phân giác của góc BAC

cắt cạnh BC ở E . Tính các đoạn , EB EC .

Lời giải (hình 286)

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC

và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

EB EC EB EC BC BA CA BA CA BA CA       ,

Hay 7 35 42 ( ); ( ) 5 6 11 11 11 EB EC EB cm EC cm      .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông ở A , đường phân giác BD . Tính , AB BC biết 4 AD cm  và

5 DC cm  .

Lời giải (hình 287)

Áp dụng tính chất của đường phân giác BD vào tam giác ABC , ta được:

4 4

5 5

AB t AB DA

BC t BC DC

       

(với 0 t  ).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông ở A , ta được:

2 2 2 BC CA AB   hay 2 2 2 (5 ) 9 (4 ) t t  

2 2 (3 ) 9 3 9 3 t t t       (vì 0 t  ).

Vậy 12( ); 15( ) AB cm BC cm   .

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có 24 , 3 BC cm AC AB   . Tia phân giác của góc ngoài tại A cắt

đường thẳng BC ở E . Tính độ dài EB .

Lời giải (hình 288)

Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài AE vào tam giác ABC , ta được:

1 3 3 1 3 EB BA BA EB EC EC CA BA      .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

24 12( ) 1 3 3 1 2 2 EB EC EC EB BC cm       

Vậy 12 EB cm  .

DẠNG 2.Tính tỉ số độ dài, tỉ số diện tích hai tam giác

Hình 289

1 4 3 2

D E

M B C

A

m n

Hình 290

D M

A

C B

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Áp dụng tính chất đường phân giác, lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng.

 Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học. Công thức và kết quả thu được từ công thức tính diện

tích tam giác.

VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM . Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh

AB ở D , tia phân giác của góc AMC cắt các cạnh AC ở E . Chứng minh rằng DE BC  .

Lời giải (hình 289)

Từ giả thiết AM là trung tuyến, đặt BM MC a   .

Áp dụng tính chất của đường phân giác MD và ME vào hai tam giác

AMB và AMC , ta được:

AD AM AM

AD AE DB MB a AE AM AM DB EC EC MC a

         

.

Điều này chứng tỏ đường thẳng DE cắt hai cạnh AB và AC của tam

giác ABC và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, nên DE BC  (theo định

lí Ta-lét đảo).

Ví dụ 2.

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và phân giác AD . Tính diện tích tam giác

ADM biết , AB m AC n   ( ) n m  .

b) Cho 7 , 3 n cm m cm   . Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích

tam giác ABC ?

Lời giải (hình 290)

a) Ta có ADM

ABC

S DM S BC  hay . ADM

DM S S BC 

(vì chung chiều cao kẻ từ A đến BC , với ABC S S  ).

Ta còn phải tính tỉ số : DM BC .

Áp dụng tính chất của đường phân giác AD vào tam giác ABC ,

ta được:

DB mt DB BA m

DC nt DC CA n

       

(với 0 t  ).