Tài liệu Toán 9 chủ đề bài toán về đường thẳng và parabol

1

BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL

A. Lý thuyết

Cho đường thẳng : d y mx n = + và Parabol ( ) 2 ( ) : 0 . P y ax a = ≠ Khi đó số giao điểm của d và

( ) P bằng đúng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 2 ax mx n = +

Ta có bảng sau:

Số giao

điểm của

d và ( ) P

Biệt thức ∆ của phương trình

hoành độ giao điểm của d và

( ) P

Vị trí tương đối của d và ( ) P

0 0 ∆< d không cắt ( ) P

1 0 ∆= d tiế xúc với ( ) P

2 0 ∆> d cắt ( ) P tại hai điểm phân

biệt

B. Bài tập

Bài 1:

Cho parabol

2 1 ( ) : ,( ) : 2 2 x P y d y x n = = +

a. Với 1 n = hãy:

- Vẽ ( ) P và d trên cùng một hệ trục tọa độ

- Tìm tọa độ các giao điểm A và B của d và ( ) P

- Tính diện tích AOB ∆

b. Tìm các giá trị của n để:

- d và ( ) P tiếp xúc nhau

- d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt

- d cắt ( ) P tại hai điểm nằm về hai phía đối của trục Oy .

Lời giải

a) 1 1 : 1 2 n d y x = ⇒ = +

2

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và d là:

2 1 1 ( 1; ) 1 1 0 2 2 2 2 (2;2)

x A x x x B

= −⇒ −  − −= ⇔= ⇒ 

- Tính 3 2 AOB S = bằng 1 trong 3 cách sau:

+) Cách 1: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của , A B trên trục Ox , khi đó:

AOB AHKB AHO BKO S S S S = − −

+) Cách 2: Gọi I là giao điểm của d và Oy . , M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của , A B

lên Oy . Khi đó 1 1 . . 2 2 AOB AOI BOI S S S AM OI BN OI = + = +

+) Cách 3: Gọi T là hình chiếu vuông góc của O trên d , khi đó: 1 . 2 AOB S OT AB =

b. Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P : 2 2 0 x x n − − =

Ta có 1 8n ∆= +

- d tiếp xúc với ( ) P 1 0 1 8 0 8 n n − ⇔∆= ⇔+ = ⇔ =

- d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt 1 0 8 n − ⇔∆> ⇔ >

- d cắt ( ) P tại hai điểm nằm ở hai phía trục Oy 0 2 0 0 ac n n ⇔ < ⇔− < ⇔ >

Bài 2:

Cho parabol 2 ( ) : ,( ) : 2 P y x d y x m = = − +

a. Với 3 m = hãy:

- Vẽ ( ) P và d trên cùng một hệ trục tọa độ

- Tìm tọa độ các giao điểm M và N của d và ( ) P

- Tính độ dài đoạn thẳng MN

b. Tìm các giá trị của m để:

- d và ( ) P tiếp xúc nhau

- d và ( ) P không cắt nhau

- d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.

Lời giải

3

a) Với 3 m = ta được : 2 3 d y x = − +

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P : 2 2 3 0 3; 1 M N x x x x + − = ⇔ = − =

( ) ( ) 3;9 ; 1;1 M N ⇒ −

- Độ dài ( ) ( ) 2 2 4 5 N M N M MN x x y y = − + − =

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P : 2 2 0 x x m + − =

- d tiếp xúc với ( ) P 0 1 m ⇔∆= ⇒ = −

- d không cắt ( ) P 0 1 m ⇔∆< ⇒ < −

- d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm

0 0 1 0. 0 S m P

∆>   ⇔ < ⇔−< <   > 

Bài 3:

Cho parabol 2 ( ) : ,( ) : 2 P y x d y x m = = − +

a. Với 3 m = hãy:

- Vẽ ( ) P và d trên cùng một hệ trục tọa độ

- Tìm tọa độ các giao điểm M và N của d và ( ) P

- Tính độ dài MN

b. Tìm các giá trị của m để:

- d và ( ) P tiếp xúc nhau

- d và ( ) P không cắt nhau

- d cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm

Lời giải

a) Với 3 : 2 3 m d y x = ⇒ = − +

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và d là: 2 2 3 0 x x + − =

3; 1 ( 3;9); (1;1) M N x x M N ⇔ = − = ⇔ −

b) Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) P và d: 2 2 0 x x m + − =

+ d tiếp xúc với ( ) P 0 1 m ⇔∆= ⇔ = −