Tài liệu Toán 9 chủ đề tứ giác nội tiếp

1

ÔN TẬP TỨ GIÁC NỘI TIẾP

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh

nằm trên đường tròn đó

- Trong hình vẽ ta có ABCD ◊ nội tiếp đường tròn ( ) O và ( ) O ngoại

tiếp ABCD ◊

2. Các tính chất: Cho ABCD ◊ nội tiếp đường tròn ( ) O , khi đó:

- Tổng số đo hai góc đối diện bằng 0 180

    0 180 A C B D + = + =

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 0 180 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 0 180

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều 1 điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của

đường tròn ngoại tiếp tứ giác

- Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α (dựa vào kiến thức

cung chứa góc)

*) Chú ý: Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông và hình thang cân nội tiếp được

đường tròn

Bài 1:

Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao

, AD BE cắt nha tại H . Gọi O là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác AHE ∆

a. CEHD ◊ nội tiếp

b. , , , A E D B cùng nằm trên một đường tròn

c. 1 2 ED BC =

d. DE là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

e. Tính DE biết 2 , 6 DH cm AH cm = =

Lời giải

O z

t

x

y

D C

B

A

2 1

2

3

1

H

O

E

C B

A

2

c) ABC ∆ cân tại ABC ∆ , AD là đường cao AD ⇒ là đường trung trực D ⇒ là trung điểm của BC

BEC ∆ có ED là đường trung tuyến 1 2 ED BC ⇒ =

d) Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp AHE O ∆ ⇒ là trung điểm của AH   1 1(1) OA OE A E ⇒ = ⇒ =

BDE ∆ cân tại D   1 3 B E ⇒ = , mà   1 1 B A = (phụ C )   1 3 E E ⇒ = , Lại có     0 0 1 2 2 3 90 90 E E E E + = ⇒ + =

 0 90 OED DE OE ⇒ = ⇒ ⊥ tại E

e) Ta có 6 3; 2 5 AH OH OE HD OD = ⇒ = = = ⇒ = .

OED ∆ vuông tại E 4 DE cm ⇒ = .

Bài 2:

Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn

( ) O . Các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H

và cắt ( ) O lần lượt tại , , M N P . Kẻ đường kính

AK , I là trung điểm của BC . Chứng minh

rằng:

a. , CEHD BCEF ◊ ◊ nội tiếp và ba điểm , , H I K

thẳng hàng

b. Chứng minh tứ giác BMKC là hình thang cân

c. OH cắt AI tại G . Chứng minh G là trọng

tâm của tam giác ABC

d. . . ; . . AE AC AH AD AD BC BE AC = =

. . AE AC FA BA = ( ) AFE ABC ∆ ∆ ”

e. H và M đối xứng nhau qua BC

f. Xác định tâm đường tròn nội tiếp DEF ∆

g. Chứng minh / / MN EF và OA EF ⊥

h. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp

của tam giác AEF và diện tích hình tròn ( AEF )

không đổi khi A di động trên cung lớn BC

Lời giải

2 1

2

3 1 1

1

O H

I D

M K

C B

F

E

N

P

A

3

a. , CEHD BCEF ◊ ◊ nội tiếp và ba điểm H, I, K thẳng hàng

Xét CEHD ◊ , có:     0 0 90 180 E D E D dpcm = = ⇒ + = ⇒

- Tứ giác BHCK là hình bình hành I ⇒ là trung điểm của HK

b. Chứng minh tứ giác BMKC là hình thang cân

Ta có / / MK BC BMKC ⇒◊ là hình thang

Lại có BC là đường trung trực của HM CH CM ⇒ = , mà CH BK CM BK = ⇒ =

Hình thang BMCK có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân

c. OH cắt AI tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có G là trọng tâm tam giác AHK 1 3 GI AI ⇒ =

- Xét ABC ∆ có AI là trung tuyến và 1 3 GI AI G ⇒ = ⇒ là trọng tâm ABC ∆

d) ( ) . . ; ( ) . . AEH ADC gg AE AC AH AD BEC ADC gg AD BC BE AC ∆ ∆ ⇒ = ∆ ∆ ⇒ = # #

e) H và M đối xứng nhau qua BC

Ta đi chứng minh CB là đường trung trực của HM

Có:   1 1 C A = (phụ  ABC );    2 1 1 2 C A sd Bm CB = = ⇒ là phân giác của C

Mà CB HM CHM ⊥ ⇒∆ cân tại C nên CB là đường trung trực của HM

f. Xác định tâm đường tròn nội tiếp DEF ∆

Ta có BCEF ◊ nội tiếp    1 1 1 2 C E sd BF ⇒ = = , ta có CEHD ◊ nội tiếp    1 2 1 2 C E sd HD ⇒ = = ,

  1 2 E E EB → = ⇒ là phân giác  FED

+) Chứng minh tương tự, ta có FC là phân giác của F

g. Chứng minh MN // EF và OA EF ⊥

   

     

3 1

1 1 1 1 1 1

(1)

; / /

B C AP AN OA NP OA EF N C C E N E NP EF

 = ⇒ = ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  = = ⇒ = ⇒ 

h. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác AEF và diện tích hình tròn ( AEF …