Tài liệu Toán 9 chủ đề hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng: ' ' ' ax by c a x b y c + =   + = 

Trong đó: , , ', ' a b a b là các số thực cho trước và 2 2 2 2 0' ' ' 0 a b a b + ≠ + ≠ và ,x y là ẩn

- Nếu hai phương trình (1)(2) có nghiệm chung ( ) 0 0 ; x y thì ( ) 0 0 ; x y

gọi là nghiệm của hệ

phương trình

- Nếu hai phương trình (1)(2) không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm

- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó (tập nghiệm)

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét hệ phương trình: ( )

( ) ' ' ' '

ax by c d

a x b y c d

 + =  + = 

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm chung

của hai đường thẳng ( ): d ax by c + =

và ( )' : ' ' ' d a x b y c + =

+) TH1: Nếu d cắt ' d thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất

+) TH2: / / ' d d thì hệ phương trình vô nghiệm

+) TH3: ' d d ≡ thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

3. Tổng quát

Xét hệ phương trình: ( )

( )

, , 0

' ' ' ', ', ' 0

ax by c a b c

a x b y c a b c

 + = ≠  + = ≠ 

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất a a' ' b b ⇔ ≠

- Hệ phương trình vô nghiệm a a' ' ' b c b c ⇔ = ≠

- Hệ phương trình có vô số nghiệm a a' ' ' b c b c ⇔ = =

4. Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.

2

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: không giải hệ phương trình dự đoán số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn

Cách giải:

Xét hệ phương trình: ( )

( )

, , 0

' ' ' ', ', ' 0

ax by c a b c

a x b y c a b c

 + = ≠  + = ≠ 

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ' ' a b a b ⇔ ≠

- Hệ phương trình vô nghiệm ' ' ' a b c a b c ⇔ = ≠

- Hệ phương trình có vô số nghiệm ' ' ' a b c a b c ⇔ = =

Bài 1: Dựa vào các hệ số , , , ', ', ' a b c a b c hãy dự đoán số nghiệm của các hệ phương trình sau

a) 2 2 3

3 2 6 7

x y

x y

 − =  − = 

b)

1 2 2 3 3 3 2 4

x y

x y

− + =  − + = 

c)

2 2 4 3

3 2 2 2

x y

x y

 + = − − = 

d)

0 5 11

2 0 2 3

x y

x y

− = −  − = 

Lời giải

a) Ta có: ' ' ' a b c a b c = ≠ ⇒ hệ vô nghiệm

b) Hệ phương trình vô nghiệm vì ' ' ' a b c a b c = ≠

c) Hệ phương trình vô nghiệm vì ' ' ' a b c a b c = ≠

d) Hệ phương trình có có nghiệm duy nhất vì ' ' a b a b ≠

Bài 2: Cho hệ phương trình 1 2 x y mx y m + =   + = 

, xác định các giá trị của tham số m để HPT

a) Có nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm

3

c) Vô số nghiệm

Lời giải

Xét các tỷ số: ' ' ' ; 1; 2 1 a m b c m m a b c = = = =

a) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ' ' 1 a b m a b ⇔ ≠ ⇔ ≠

Vậy 1 m ≠ là giá trị cần tìm

b) Hệ phương trình vô nghiệm 1 ' ' ' 1 2 m a b c m m m a b c

=  ⇔ = ≠ ⇔ ⇔ =  ≠ 

Vậy 1 m = là giá trị cần tìm

c) Hệ phương trình vô nghiệm 1 ' ' ' 2 m a b c m m m a b c

=  ⇔ = = ⇔ ⇔ ∈∅  = 

Vậy không có giá trị nào của m để hệ vô nghiệm

Bài 3: Cho hệ phương trình 2 1 mx y

x y m

− =  − = 

, xác định các giá trị của tham số m để HPT

a) Có nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm

c) Vô số nghiệm

Lời giải

- Với 0 m = thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

- Với 0 m ≠

a) Ta tìm được điều kiện của m là 1 m = ±

b) Ta tìm được điều kiện của m là 1 m = −

c) Ta tìm được điều kiện của m là 1 m =