Tài liệu Toán 9 chủ đề hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số

1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN CHỨA THAM SỐ

A. Tóm tắt lý thuyết

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (*) ' ' ' ax by c a x b y c + =   + = 

1. Để giải hệ phương trình (*) ta thường dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số

2. Từ 2 phương trinh của hệ phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc cộng đại

số, ta thu được một phương trình mới (một ẩn). Khi đó số nghiệm của phương trình mới bằng

số nghiệm của hệ phương trình đã cho

3. Chú ý: Cách biện luận số nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn 0 ax b + =

- Nếu 0 a ≠ thì phương trình có nghiệm b x a − =

- Nếu 0 a = ta được: 0x b = −

+) Nếu 0 b = thì phương trình có vô số nghiệm

+) Nếu 0 b ≠ thì phương trình vô nghiệm

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Giải và biện luận hệ phương trình

Cách giải: Để giải và biện luận hệ phương trình (*) ta làm như sau

Bước 1: Từ hai phương trình (*), sau khi dùng phương pháp thế hoặc cộng đại số, ta thu

được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn )

Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện luận hệ

phương trình đã cho.

Bài 1:

Cho hệ phương trình 2 (1) 1 (2) x my m mx y m + =   + = − 

( m là tham số)

1. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình:

a. Có nghiệm duy nhất, tìm nghiệm duy nhất đó

b. Vô nghiệm

c. Vô số nghiệm

2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ;x y

2

d. Hãy tìm các giá trị m nguyên để ,x y cùng nguyên

e. Tìm hệ thức liên hệ giữa ,x y không phụ thuộc vào tham số m

Lời giải

1. Từ (1) có: 2 x m my = − , thay vào phương trình còn lại 2 2 ( 1) 2 1 (*) m y m m − = + −

Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình (*)

a. hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 1 1 ( ; ) ( ; ) 1 1 m m m x y m m − − ⇔ ≠± ⇒ = + −

b. Vô nghiệm

2

2 1 0 1 2 1 0

m m m m

 −=  ⇔ ⇔ =  + −≠ 

c. Vô số nghiệm

2

2 1 0 1 2 1 0

m m m m

 −=  ⇔ ⇔ = −  + −= 

2. Với 2 1 1 ( ; ) ( ; ) 1 1 m m m x y m m − − ⇔ ≠± ⇒ = + −

d. Ta có: { }

1 1 1 1 1 1 0;2 2 1 1 2 1 1

m x Z m m m m m y Z m m

− = = −− ∈  − − ⇒ −= ± ⇒ ∈  −  = = + ∈  − − 

e. Hệ thức không phụ thuộc vào m là 1 x y + =

Bài 2:

Cho hệ phương trình 2 2 (1) 8 2 (2) mx y x my m + =   + = + 

( m là tham số)

1. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m

2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ;x y

a) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

b) Tìm giá trị của m để 4 3 7 + = x y

Lời giải

1) Ta xét các trường hợp sau

- Xét 0 = ⇒ m hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 ;2 4      

- Xét 0 ≠ m

3

+) Với 2 1 2 8 ≠ ⇔ ≠± ⇒ m m m hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1 4 ; 2 4 2 +     + +  

m m m

+) Với 2 = ⇒ m hệ phương trình vô số nghiệm

+) Với 2 = −⇒ m hệ phương trình vô nghiệm

2) a) Với 2 ≠± − ⇒ m hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) 1 4 ; ; 1 4 2 4 2 +   = ⇒ = +   + +  

m x y y x m m

b) ( ) 3 4 4 4 3 7 7 0 2 4 2

+ + = ⇔ + = ⇔ = + +

m x y m m m

Bài 3:

Cho hệ phương trình 2 (1) 4 6 (2) mx y m x my m − =   − = + 

( m là tham số)

1. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m .

2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ;x y

a. Chứng minh rằng 2 3 x y + = với mọi giá trị của m

b. Tìm giá trị của m để 6 2 13 x y − =

Lời giải

1. 2 m ≠± ⇒ hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 3 ( ; ) ( ; ) 2 2 m m x y m m + − = + +

+) Với 2 m = − thì hệ vô nghiệm

+) Với 2 m = thì hệ phương trình vô số nghiệm

2. Với 2 m ≠±

a. Thay 2 3 ( ; ) ( ; ) 2 2 m m x y m m + − = + + vào 2 3 x y + = (thỏa mãn)

b. 6 2 13 x y − = 2 3 6. 2. 13 8. 2 2 m m m m m + − ⇔ − = ⇔ = + +

Bài 4:

Cho hệ phương trình 2 2 (1) (2) x y mx y m + =   − = 

( m là tham số)

1. Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m .

2. Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ) ;x y