Tài liệu Toán 9 chủ đề sự xác định đường tròn, tính chất đối xứng của đường tròn

1

SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN, TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa đường tròn

+) Đường tròn tâm O bán kính R (với 0 R > ) là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một

khoảng R không đổi

+) Đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là: ( ) ; O R hoặc ( ) O khi không chú ý đến bán

kính. Vị trí tương đối của một điểm đối với đường tròn

2. Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn ( ) ; O R

Vị trí tương đối Hệ thức

M nằm trên đường tròn (O) OM R =

M nằm trong đường tròn (O) OM R <

M nằm ngoài đường tròn (O) OM R >

3. Cách xác định 1 đường tròn

*) Định lí:

- Qua 3 điểm không thẳng hàng bao giừo cũng chỉ vẽ được 1 đường tròn và chỉ một đường

tròn mà thôi

- Biết tâm và bán kính

- Biết 1 đoạn thẳng là đường kính

- Đặc biệt: Nếu tam giác ABC vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh

huyền

*) Chú ý:

- Qua hai điểm cho sẵn, ta dựng được vô số đường tròn, tâm của các đường tròn này phụ

thuộc vào đường thẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đã cho

- Không có đường tròng nào đi qua ba điểm thẳng hàng

- Nếu một tam giác nội tiếp đường tròn có một cạnh là đường kính của đường tròn thì tam

giác đó là tam giác vuông

4. Đường tròn ngoại tiếp tam giác

2

- Đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tâm của

đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của 3 đường trung trực.

5. Tính chất đối xứng của đường tròn

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng: Tâm của đường tròn là tâm

đối xứng của đường tròn đó

- Đường tròn là hình có trục đối xứng: Bất kì đường kính nào cũng

là trục đối xứng của đường tròn đó.

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn

Cách giải:

Cách 1: Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều 1 điểm cho trước nào đó

Cách 2: Sử dụng kết quả: Nếu  0 90 ABC = thì B thuộc đường tròn đường kính AC

Bài 1:

Cho tứ giác ABCD có   0 90 C D + = . Gọi

, , , M N P Q lần lượt là trung điểm của

, , , AB BD DC CA. Chứng minh rằng bốn điểm

, , , M N P Q cùng nằm trên 1 đường tròn

Lời giải

Xét tứ giác MNPQ, ta có: / / / / MQ NP MNPQ MN PQ  ⇒◊  

là hình bình hành (dhnb)

Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E

Ta có:   0 0 90 90 C D E + = ⇒ = 

Lại có: / / / / MN ED MN MQ MNPQ MQ EC  ⇒ ⊥ ⇒◊  

là hình chữ nhật (dhnb) , , , M N P Q ⇒ nằm trên 1

đường tròn với tâm là giao điểm của 2 đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa

O A' A

Q

P

N

M

E

D C

B

A

3

đường chéo.

Bài 2:

Cho hình thoi ABCD có  0 60 A = . Gọi

, , , E F G H lần lượt là trung điểm của các cạnh

, , , AB BC CD DA. Chứng minh rằng 6 điểm

, , , , , E F G H B D cùng nằm trên 1 đường tròn

Lời giải

Xét tứ giác EFGH , có: / /

/ /

EF GH EFGH EH FG  ⇒◊  

là hình bình hành (dhnb)

Lại có:  0 90 HEF EFGH = ⇒◊ là hình chữ nhật (dhnb)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

(1) OE OF OG OH ⇒ = = =

Xét tam giác OBE có: 0 60

OE BE OBE B

=  ⇒∆  =   đều ( ) 2 OE OB OD ⇒ = =

Từ (1)(2) , , , , , ( ) OE OB OF OG OH OD E B F G D H O ⇒ = = = = = ⇒ ∈

Bài 3:

Cho tam giác ( ) 0 90 ABC A = , đường cao AH .

Từ M là điểm bất kỳ trên cạnh BC . Kẻ

, MD AB ME AC ⊥ ⊥ . Chứng minh 5 điểm

, , , , A D M H E cùng nằm trên một đường tròn

Lời giải

Vì ba tam giác , , ADM AEM AHM có chung cạnh huyền AM nên ba đỉnh góc vuông , , D E H

O

60°

H G

F E

D

C

B

A

B

D

M H C

E

A