Tài liệu Toán 9 chủ đề liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

1

LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Trong một đường tròn

- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm:

Trong đường tròn ( ) O có: , ; AB CD OI AB I OK CD K = ⊥ = ⊥ =

OI OK ⇒ =

- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau:

Trong đường tròn ( ) O có:

, , OI AB I OK CD K OI OK AB CD ⊥ = ⊥ = = ⇒ = OI OK ⇒ =

2. Trong hai dây của một đường tròn

- Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

- Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Cụ thể: , AB CD là hai dây của đường tròn ( ) O

, OI OK là khoảng cách từ tâm O tới , AB CD

Ta có: AB CD > thì OI OK <

B. Bài tập áp dụng

Bài 1:

Cho đường tròn tâm O và hai dây , AB CD

bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả

sử 2 , 4 IA cm IB cm = = . Tính khoảng cách từ

tâm O đến mỗi dây

Lời giải

Vẽ , OH AB OK CD ⊥ ⊥ , ta được: 3 HA HB cm = =

2 1 IA cm IH cm = ⇒ =

Xét OKIH ◊ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

1 OK HI OH OK cm ⇒ = = = = (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

H

K O

D

C

B A

K

I

O

C D

B

A

2

Bài 2:

Cho đường tròn tâm O bán kính 11 OA cm = .

Điểm M thuộc bán kinh OA và cách O một

khoảng 7cm. Qua M kẻ dây CD có độ dài

18cm. Tính ( ) , MC MD MC MD <

Lời giải

Kẻ 9 OH CD HC HD cm ⊥ ⇒ = =

Xét  0 2 ( 90 ) 40 2 10( ) OHD H OH OH cm ∆ = ⇒ = ⇒ =

Xét  0 2 ( 90 ) 9 3( ) OHM H MH MH cm ∆ = ⇒ = ⇒ =

Ta có: 12 ; 6 MD MH HD cm MC HC MH cm = + = = − =

Bài 3:

Cho đường tròn ( ) ;3 O cm , dây 4 AB cm =

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b) M là điểm sao cho 2 OM cm = . Vẽ dây CD

vuông góc với OM tại M . So sánh AB và

CD.

Lời giải

a) Vẽ OH AB H H ⊥ = ⇒ là trung điểm của dây AB (định lí đường kính vuông góc với dây

cung)

Ta có: 2 2 AB AH HB cm = = =

Tam giác OAH vuông tại ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 5 H OH AH OA OH OH cm ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

b) Ta có: 5 4 2 OH OM AB CD > = ⇒ > ⇒ < (định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm

đến dây)

M 4 7

H

D

O

C

A

C

D

M

O

H B A

3

Bài 4:

Cho đường tròn ( ) ;25 O cm , dây 40 AB cm = . Vẽ

dây cung CD song song với AB và có khoảng

cách đến AB bằng 22cm . Tính độ dài dây

cung CD

Lời giải

Kẻ OH AB ⊥ cắt dây CD tại K thì ( ) / / HK CD AB CD ⊥ nên 20 , 2 CD AH HB cm CK KD = = = =

Và , OH OK lần lượt là khoảng cách từ O đến , , 22 AB CD HK cm =

Áp dụng hệ thức pytago cho OHB ∆ vuông tại H có cạnh huyền 25 OB cm = ta được:

( ) 2 2 2 2 2 2 25 20 15 0 OB BH HO OH OH cm OH = + ⇒ = + ⇔ = >

( ) 22 15 7 OK KH OH cm ⇒ = − = − =

Áp dụng hệ thức Pytago vào tam giác OKD vuông tại K có cạnh huyền 25 OD cm = ta được:

( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 25 7 24 24 OD DK OK DK DK DK cm = + ⇒ = + ⇔ = ⇔ =

Vậy 48 CD cm = .

Bài 5:

Cho đường tròn tâm O, dây

 0 24 , 20 , 90 AB cm AC cm BAC = = < và điểm O

nằm trong  BAC . Gọi M là trung điểm của

AC , khoảng cách từ M đến AB là 8cm

a. Chứng minh rằng ABC ∆ cân tại C

b. Tính bán kính của đường tròn

Lời giải

a. Kẻ ; MH AB H CK AB K ⊥ = ⊥ =

MH ⇒ là đường trung bình của 1 10 , 6 12 2 AKC AM cm AH cm AK cm AK AB ∆ ⇒ = = ⇒ = ⇒ =

K H

M

O

C

B A

20

20

25

25

C K D

O

B H A

4

Xét ABC ∆ , có CK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ABC ⇒∆ cân tại C (CK đi

qua O vì CK là đường trung tuyến của ABC ∆ )

b. Ta có 10 ( ) 12,5( ) 16 20 MC OC OC MA MC OM AC OMC AKC gg OC cm KC AC = ⇒ ⊥ ⇒∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ = 

Bài 6:

Cho điểm A nằm trên đường tròn ( ) O có CB

là đường kính và AB AC < . Vẽ dây AD vuông

góc với BC tại H . Chứng minh rằng

a. Tam giác ABC vuông tại A

b. H là trung điểm , AD AC AD = , và BC là tia

phân giác của góc ABD

c.   ABC ADC =

Lời giải

a) Vì OA OB OC R ABC = = = ⇒∆ vuông tại A

b. Vì OH AD AH HD H ⊥ ⇒ = ⇒ là trung điểm của AD

+) Xét ADC ∆ , có CH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ADC ⇒∆ cân tại

C CA CD ⇒ =

+) Xét ADB ∆ , có BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến ADB ⇒∆ cân tại

B BC ⇒ là phân giác của  ABD

c) Ta có:      ; ABC CBD CDH CBD ABC CDH = = ⇒ =

Bài 7:

Cho đường tròn ( ) ; O R đường kính AB . Gọi

M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và

OB . Qua M và N lần lượt vẽ các dây CD và

EF song song với …