Tài liệu Toán 9 chủ đề vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn ( ) ; O R đến đường thẳng a , khi đó ta có:

Hệ thức Số điểm chung Quan hệ Hình vẽ

d R < 2 Đường thẳng a cắt đường tròn

( ) ; O R tại 2 điểm

d R = 1 Đường thẳng a tiếp xúc

đường tròn ( ) ; O R

d R > 0 Đường thẳng a không cắt

đường tròn ( ) ; O R

2. Định lý

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua

tiếp điểm.

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn và ngược lại

Cách giải: So sánh d và R dựa vào bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đã

nêu trong lý thuyết

a

B A H

d

O

a H

d=R

O

a

O

d

H

2

Bài 1:

Cho ABC ∆ vuông tại A có BD là đường phân

giác. Xác định vị trí tương đối của đường

thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA

Lời giải

Vẽ ( ) DE BC E BC ⊥ ∈

D thuộc tia phân giác ; , ABC DA AB DE BC DE DA ⊥ ⊥ ⇒ =

Do đó đường thẳng BC và đường tròn tâm D bán kính DA tiếp xúc nhau.

Bài 2:

Cho ABC ∆ vuông tại A có 3 , 4 AB cm AC cm = =

Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8cm. Xác

định vị trí tương đối của đường thẳng BC vầ

đường tròn tâm A bán kính 2,8cm.

Lời giải

Vẽ AH là đường cao của tam giác vuông ABC

Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2,4 2,8 3 4 AH cm d r AH AB AC = + = + ⇒ = < <

Do đó đường thẳng BC và đường tròn ( ) ;2,8 A cm cắt nhau

B E C

A

D

B

A C

H

3

Bài 3:

Cho hình thang vuông ABCD có

  0 90 , 2 , 6 , 8 A B AD cm BC m CD cm = = = = = .

Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn

đường kính CD

Lời giải

Gọi ,I K lần lượt là trung điểm của CD và AB

Ta có: IK là đường trung bình của hình thang ( ) 4 2 AD BC ABCD IK cm + ⇒ = =

Lại có: ( ) / / , ; 4 , 2 CD AD IK AD AB IK AB IK cm IK AB ⊥ ⇒ ⊥ = = ⊥

Do đó AB tiếp xúc với đường tròn tâm I đường kính CD.

K

B C

I

D A

6

2

4

Dạng 2: Bài toán liên quan đến tính độ dài

Cách giải: Ta nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp điểm và sử

dụng định lý pyatago.

Bài 1:

Cho đường tròn tâm O bán kính 6cm và một

điểm A cách O là 10cm. Kẻ tiếp tuyến AB

với đường tròn trong đó B là tiếp điểm. Tính

độ dài đoạn AB

Lời giải

Ta có ABC ∆ vuông tại B 8 AB cm ⇒ =

Bài 2:

Cho đường tròn ( ) ; O R và dây 8 5 AB R = . Vẽ

một tiếp tuyến song song với AB , cắt các tia

, OA OB lần lượt tại M và N . Tính diện tích

tam giác OMN

Lời giải

Tiếp tuyến MN , tiếp điểm K . Vì / / AB MN nên OK AB ⊥

Ta tính được: 2 3 4 4 5 3 3 OMN OK R KN R S R = ⇒ = ⇒ =

Bài 3:

Cho đường tròn ( ) ;2 O cm và một điểm A chạy

trên đường tròn đó. Từ A vẽ tiếp tuyến xy.

Trên xy lấy một điêm M sao cho

( ) 2 3 AM cm = . Hỏi điểm M di động trên

đường nào khi A chạy trên ( ) O

6 4

B

A O

2 3 2

M

A

O

K

O

N M

B A

5

Lời giải

Tính được 4 OM M = ⇒ di chuyển trên ( ) ;4 O cm

Bài 4:

Cho đường tròn ( ) ;2 O cm và điểm A ngoài

( ) O . Từ A kẻ cát tuyến với ( ) O , cắt ( ) O tại

B và C . Cho biết AB BC = và kẻ đường kính

COD , tính độ dài đoạn thẳng AD .

Lời giải

Chứng minh được OB là đường trung bình của 4 CDA AD cm ∆ ⇒ =

Bài 5:

Cho điểm M cách đường thẳng xy 6cm, vẽ

đường tròn ( ) ;10 M cm

a. Chứng minh rằng đường tròn tâm M và

đường thẳng xy cắt nhau

b. Gọi hai giao điểm là P và Q. Tính PQ

Lời giải

a. Kẻ MH xy H MH ⊥ = ⇒ là khoảng cách từ M đến xy

6 10 MH cm MH R xy R cm =  ⇒ ⇒ < ⇒  = 

cắt ( ) ;10 O cm tại P và Q

b. Ta có 1 2 MH PQ HP HQ PQ ⊥ ⇒ = = (Quan hệ vuông góc đường kính và dây) 2. PQ HQ ⇒ =

Xét  0 ( 90 ) 8 ( 0) 16( ) MHQ H HQ cm HQ PQ cm ∆ = ⇒ = > ⇒ =

2

2

D

C

B

A

O

Q P H

M

y x