Tài liệu Toán 9 chủ đề một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Cho ABC ∆ vuông tại A, có , , BC a AB c AC b = = = , ta có:

+   . . b a sinB a cosC = =

+   . . b c tanB c cosC = =

+   . . c a sinC a cosB = =

+   . . c b tanC b cotB = =

2. Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu biết trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh

và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được tất cả các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.

(Bài toán này gọi là bài toán: Giải tam giác vuông)

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Giải tam giác vuông

Cách giải: Để giải tam giác vuông ta dùng hệ thức giữa cạnh và các góc trong tam giác

vuông

- Chú ý: Các bài toán về giải tam giác vuông bao gồm:

+) Gải tam giác vuông khi biết độ dài 1 cạnh và số đo 1 góc nhọn

+) Giải tam giác vuông khi biết độ dài 2 cạnh

Bài 1:

Cho tam giác ABC ∆ vuông tại A. Gọi BC a =

, AC b AB c = = . Giải tam giác ABC ∆ , biết

a) ( )  0 10 ; 30 b cm C = =

b)  0 20 , 35 a cm B = =

c) 15 , 10 a cm b cm = =

Lời giải

a) Sử dụng tỉ số   , cosC sinC  0 20 3 10 3 ( ); ( ); 60 3 3 a cm c cm B ⇒ = = =

a

b c

C B

A

c b

a

A

B C

2

b) Ta có: 0 0 20. 35 11,47( ); 20. 35 16,38( ) b sin cm c cos cm = ≈ = ≈

c) Ta có:    0 0 10 5 5( ); 41,8 , 48,2 15 c cm SinB B C = = ⇒ ≈ =

d) Ta có:    0 0 12 193( ), 59,7 , 30,3 7 a cm tanB B C = = ⇒ ≈ ≈ .

Bài 2:

Cho tam giác ABC ∆ vuông tại A. Gọi

, , BC a AC b AB c = = = . Giải ABC ∆ , biết:

a)  0 3,8 ; 51 c cm B = =

b)  0 11 , 60 a cm C = =

Lời giải

a) Xét tam giác ABC ∆ vuông tại A. Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông,

ta có:  0 3,8 51 6 ; 4,6 AB cosB cos BC cm AC cm AC BC = ⇔ = ⇒ = =

b) Ta có:   0 0 0 60 30 60 .11 8,6 ; 4,3 C B AB sin cm AC cm = ⇒ = ⇒ = = =

c b

a

A

B C

3

Dạng 2: Tính cạnh và góc của tam giác

Cách giải: Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức trên bằng cách kẻ thêm

đường cao.

Bài 1:

Cho tam giác ABC ∆ có   0 0 38 , 30 B C = = ,

11 BC cm = . Gọi N là chân đường vuông góc

hạ từ A xuống cạnh BC . Hãy tính

a) Độ dài đoạn thẳng AN

b) Độ dài đoạn thẳng AC

Lời giải

a) Cách 1: Sử dụng các tỉ số lượng giác trong các tam giác vuông NAB và NAC , ta có:

. . BN tanB NC tanC =

Chú ý: 4,67 ; 3,65 BN NC BC BN cm AN cm + = ⇒ ≈ ≈

Cách 2: Gợi ý: Kẻ CH AB H ⊥ =

b) Xét tam giác ANC vuông, có 7,3 AN AC AC cm SinC = ⇒ ≈

Bài 2:

Cho tam giác ABC ∆ có 11 BC cm = ,

  0 0 38 , 30 B C = = . Gọi N là chân đường vuông

góc hạ từ A xuống cạnh BC . Hãy tính

a) Độ dài đoạn thẳng AN

b) Độ dài cạnh AC

c) Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải

Kẻ BH AC BHC ⊥ ⇒∆ vuông tại   0 0 0 0 60 ; 60 38 22 H HBC HBA ⇒ = = − =

Do đó ( ) 1 1 .11 5,5 2 2 BH BC cm = = = (trong tam giác vuông cạnh đối diện với góc 0 30 bằng nửa

cạnh huyền)

11

30° 38°

H

B C N

A

30° 38°

N C B

A

4

a) Tam giác BHA vuông tại H , cạnh huyền BA và cạnh 5,5 BH cm = kề với

 ( ) 0 0 0 5,5 22 22 5,932 22 BH B cos AB cm AB cos = ⇒ = ⇒ = ≈

Kẻ AN BC ⊥

Trong tam giác vuông ABN vuông tại N có AN đối diện với góc 0 38 nên

0 38 AN sin AB =

( ) 0 0 . 38 5,932. 38 3,652 AN AB sin sin cm ⇒ = = ≈

b) Tam giác ANC vuông tại  ( ) 0 0 3,652 , 30 7,304 30 0,5 AN N C AC cm sin = ⇒ = ≈ =

c) Ta có: ( ) 2 1 1 . .3,652.11 20,086 2 2 ABC S AN BC cm = = = .

Bài 3:

Cho tam giác ABC có  0 60 B = ,  0 50 , 35 C AC cm = = .

Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải

Xét tam giác ABC , có:     0 0 180 70 A B C A + + = ⇒ =

Vẽ đường cao ( ) AH H BC ∈

Ta có:   0 . 50 . 26,8( ) AH SinC AH sinC AC sin AC cm AC = ⇒ = = =



0 26,8 26,8 38,5( ) 60 SinB AB cm AB Sin = ⇒ = =

Xét tam giác ABH vuông tại H , có: 15,8( ) 22,7( ) 38,5( ) BH cm CH cm BC cm = ⇒ = ⇒ ≈

2 1 1 . . .26,8.38,5 510( ) 2 2 ABC S BC AH cm = = =

50° 60°

H C B

A