Tài liệu Toán 9 chủ đề căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $sqrt A2 left A right$

1

CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẢNG THỨC

2 A A =

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Căn thức bậc hai

a. Định nghĩa: Với A là một biểu thức đại số thì A được gọi là căn thức bậc hai của A và

A gọi là biểu thức lấy căn hay là biểu thức dưới dấu căn

b. A có nghĩa (hay xác định) khi 1 0 A A ≥ ⇒ có nghĩa khi 0 A >

Ví dụ: 3x có nghĩa khi 3 0 0 x x ≥ ⇔ ≥

2. Hằng đẳng thức: ( )

( )

2 , 0

, 0

A A A A A A

 ≥  = = − < 

Ví dụ 1:

2 2 12 12 12; ( 7) 7 7 = = − = − =

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:

2 ( 2) x − với 2 x ≥

Lời giải

Ta có:

2 ( 2) 2 2 x x x − = − = − vì 2 x ≥

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa

Cách giải: Chú ý rằng A có nghĩa khi và chỉ khi 0 A ≥

+) A có nghĩa khi 0 A ≥ +) 1 A có nghĩa khi 0 A >

+) 0 A B A B + ⇒ + ≥ có nghĩa khi 0 A B + ≥ +) 1 A có nghĩa khi 0 A >

+) A B − có nghĩa khi 0 A B − ≥ +) 2 1

A

có nghĩa khi 0 A ≠

+) 1

A B − có nghĩa khi

0

0

A

A B

≥  ⇔ − ≠ 

+) 1

A B + có nghĩa khi

0

0

A

A B

≥  ⇔ + ≠ 

2

+) . . 0 A B A B ⇒ ≥ có nghĩa khi

0 0

0 0

A B

A B

 ≥    ≥   ⇔ ≤   ≤  

+) A B có nghĩa

0

0

0

0

A

B

A

B

 ≥    >   ⇔ ≤   <  

+) 1

.A B có nghĩa

0

0 0 0

0

A

B AB A

B

 >    >   > ⇔ <   <  

+) 2 ( 0) x n n x n n ≤ ⇔− ≤ ≤ ≥

+)

2 ( 0) x n x n n x n

≥ ≥ ⇔ ≥  ≤− 

Bài 1: Tìm x để các căn thức sau có nghĩa

a. 3x − b. 2 10 x − c. 3 4 x − −

d. 3 15 x + e. 1 5 2 x + f.

2 8 9 x x − −

Lời giải

a) Ta có: 3x − có nghĩa 0 x ⇔ ≤

b) Ta có: 2 10 x − có nghĩa 2 10 0 5 x x ⇔ − ≥ ⇔ ≥

c) Ta có: 3 4 x − − có nghĩa 4 3 4 0 3 x x − ⇔− − ≥ ⇔ ≤

d) Ta có: 3 15 x + có nghĩa 3 15 0 5 x x ⇔ + ≥ ⇔ ≥−

e) Ta có: 1 5 2 x + có nghĩa 1 1 5 0 2 10 x x − ⇔ + ≥ ⇔ ≥

f) Ta có: 2 8 9 x x − − có nghĩa ( )( ) 2 9 8 9 0 1 9 0 1

x x x x x x

≥  ⇔ − − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔≤− 

Chú ý: Với a là số dương, ta có:

2 2

2 2

x a x a x a

x a a x a

 ≥  ≥ ⇔  ≤−    ≤ ⇔−≤ ≤ 

3

Bài 2: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa

a. ( 2) x x + b.

2 5 3 8 x x − − c.

2 2 4 5 x x + +

d.

2 4 x − e.

2 2 1 x x − + −

Lời giải

a) Ta có: ( 2) x x + có nghĩa khi 2 ( 2) 0 0

x x x x

≤−  + ≥ ⇔≥ 

x -2 0

x - │ - 0 +

2 x + - 0 + │ +

( ) 2 x x + + - +

b) Ta có: 2 5 3 8 x x − − có nghĩa khi

2 1 5 3 8 0 ( 1)(5 8) 0 8 5

x x x x x x

≤−   − − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔≥ 

c) Ta có: 2 2 4 5 x x + + có nghĩa khi

2 2 2 4 5 0 2( 1) 3 0 x x x + + ≥ ⇔ + + ≥ . Vậy biểu thức luôn có

nghĩa

d) Ta có:

2 4 x − có nghĩa khi 2 2 4 0 4 2 2 x x x − ≥ ⇔ ≤ ⇔−≤ ≤

e) Ta có:

2 2 1 x x − + − có nghĩa khi

2 ( 1) 0 1 0 1 x x x − + ≥ ⇔ −= ⇔ =

Bài 3: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a. 4 2 3 x + b. 2 1 x − + c. 1 3 2x −

d. 2 2 x e. 2 2 x x x + − − f.

2 2 x x x + − +

g.

2 2 4 x x x + − − h.

3 3 x x x + + −

Lời giải

a) Ta có: 4 2 3 x + có nghĩa 4 3 0 2 3 0 2 3 2 x x x − ⇔ ≥ ⇔ + > ⇔ > +

4

b) Ta có: 2 1 x − + có nghĩa 2 0 1 0 1 1 x x x − ⇔ ≥ ⇔ + < ⇔ < − +

c) Ta có: 1 3 2x − có nghĩa 1 3 0 3 2 0 3 2 2 x x x ⇔ ≥ ⇔ − > ⇔ < −

d) Ta có: 2 2 x có nghĩa

2 0 0 x x ⇔ > ⇔ ≠

e) Ta có: 2 2 x x x + − − có nghĩa

2 0 2 2 2 0 2

x x x x x

− ≥ ≥   ⇔ ⇔ ⇔ >   − ≠ ≠  

f) Ta có: 2 2 x x x + − + có nghĩa

2 0 2 2 2 0 2

x x x x x

− ≥ ≥   ⇔ ⇔ ⇔ ≥   + ≠ = −  

g) Ta có: 2 2 4 x x x + − − có nghĩa

2 2 2

x x x

≥  ⇔ ⇔ > ≠± 

k) Ta có: 3 3 x x x + + − có nghĩa

2 3 3 0

3 0 0

x x x x x x

 + + >   ⇔ ⇔     − ≥ ≤  

(vô lý).

Vậy không có giá trị nào của x làm biểu thức có nghĩa.

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức

Cách giải: Sử dụng hằng đẳng thức: ( )

( )

2 , 0

, 0

A A A A A A

 ≥  = = − < 

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

a. 49 144. . 0,01 64 A − = − b. ( )

2 0,25 15 2,25 : 169 B   = − − +    

c. ( )

2 0,04 1,2 121 81 C   = − − +     d. ( ) ( ) 2 2 2 2 75: 3 4 3 5 3 D = + − − − −

Lời giải

a) Ta có: ( )

2 2 2 49 7 144. . 0,01 12 . . 0,1 1,05 64 8 A −   = − = =    

b) Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0,25 15 2,25 : 169 0,5 15 1,5 : 13 1 B     = − − + = − …