Tài liệu Toán 9 chủ đề rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1

RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

A. Kiến thức cần nhớ

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức

- Nếu biểu thức chứa phân thức thì mẫu số phải khác không

- Nếu biểu thức chứa căn bậc chẵn thì biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0

*) Chú ý: Các bài toán thường gặp có sự kết hợp của cả phân thức và căn bậc chẵn. Khi đó

chúng ta giải riêng lẻ từng phần, sau đó kết hợp kết quả lại với nhau để chọn ra kết luận cung

nhất

Bước 2: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử rồi rút gọn nếu có thể

*) Chú ý: Các dạng đa thức, hằng đẳng thức thường gặp để phân tích đa thức thành nhân tử

- ( ) ( )( )

3 1 1 1 1 x x x x x x + = + = + − +

- ( ) ( ) ( )( )

3 3 x x y y x y x y x xy y + = + = + − +

(hằng đẳng thức ( )( ) 3 3 2 2 A B A B A AB B + = + − + )

- ( ) ( )( )

3 1 1 1 1 x x x x x x −= −= − + +

- ( ) ( ) ( )( )

3 3 x x y y x y x y x xy y − = − = − + +

(hằng đẳng thức ( )( ) 3 3 2 2 A B A B A AB B − = − + + )

- ( ) x xy x x y − = − và ( ) x xy x x y + = +

- ( )1 x x x x − = − và ( )1 x x x x + = +

- ( ) x y y x xy x y − = −

- ( )( ) 1 1 1 x x x + − = −

(hằng đẳng thức ( )( ) 2 2 A B A B A B + − = − )

- ( ) ( )( ) ( )( )

2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x − = − = − + = − − +

(hằng đẳng thức ( )( ) 2 2 A B A B A B − = − + )

- ( ) 1 1 . 1 1 x x x x − = − − ≤ và ( ) 1 1 . 1 1 x x x x + = + + ≥−

2

- ( ) ( )( ) 2 1 1 1 x x x x x x x x x + = + = + − +

( )

2 2 1 1 x x x + + = + và ( )

2 2 1 1 x x x − + = −

(hằng đẳng thức ( ) 2 2 2 2 A AB B A B ± + = ± )

Bước 3: Quy đồng

- Tìm mẫu số chung: Là tích của nhân tử chung và riêng của mỗi nhân tử lấy với số mũ lướn

nhất

- Nhân tử phụ: Lấy mẫu chung cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng

- Nhân nhân tử phụ với tùng tử và giữ nguyên mẫu chung

Bước 4: Phá ngoặc bằng cách nhân khai trển các hạng tử với nhau hoặc khi triển hằng đẳng

thức

Bước 5: Thu gọn bằng cách cộng, trừ các hạng tử đồng dạng

Bước 6: Phân tích tử thành nhân tử

Bước 7: Rút gọn lần cuối.

Dạng 1: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai và tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị

của biến

Cách giải: Thực hiện theo hai bước

Bước 1: Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai đã cho, ta sử dụng các phép biến đổi như đưa

thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn, trục căn thức ở mẫu, quy đồng mẫu thức... một cách

linh hoạt

Bước 2: Để tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến ta rút gọn giá trị của biến (nếu

càn) sau đó thay vào biểu thức đã được rút gọn ở trên và tính kết quả.

Bài 1:

Cho biểu thức 1 1 9 3 3

x x P x x x

− = + − − + − với 0 x ≥ và 9 x ≠

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P trong các trường hợp

- 6 4 2 6 4 2 x = + + −

3

- 1 1 2 1 2 1 x = − − +

Lời giải

a) Ta có

( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 3 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3

x x x x x x P x x x x x x x x x

− − − + = + − = + − − + − − + − + − +

( ) 2 0; 9 3

x P x x x

+ ⇒ = ≥ ≠ +

b) Ta có: ( ) ( )

2 2 6 4 2 6 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x = + + − = + + − = + + − = (thỏa mãn)

thay 4 x = vào P ta được 4 5 P =

- 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 x + − = − = − = − + (thỏa mãn)

Thay 2 x = vào P ta được 4 2 7 P + =

Bài 2:

Cho biểu thức 1 7 1 : 1 4 2 2 x Q x x x

  −   = + −      − + −   

với 0 x ≥ và 4 x ≠

a) Rút gọn Q

b) Tính giá trị của Q trong các trường hợp

- 27 10 2 18 8 2 x = + − +

- 2 2 2 3 2 3 x = − − +

Lời giải

a) Ta có:

( ) 1 7 1 2 7 1 2 5 : 1 : 0; 4 4 4 4 2 2 2 2 2

x x x x x Q x x x x x x x x x x

     − − − − +   = + − = + − = ≥ ≠            − − − + − − − +      

b) Ta có 27 10 2 18 8 2 5 2 4 2 1 x x = + − + ⇒ = + − + = (thỏa mãn điều kiện)

Thay 1 x = vào Q ta được 2 Q =