Hệ thức lượng trong tam giác vuông - Lương Anh Nhật

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 1

CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

BÀI 1: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

I. Đặt vấn đề

Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao. Chứng minh

a) 2 . AB BH BC = , 2 . AC CH CB = .

b) . . AB AC AH BC = .

c) 2 . AH BH CH = .

d) 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + .

Giải

a) Xét hai tam giác vuông ABH và CBA có ABH chung nên ABH CBA   ∽ (g.g)

Suy ra 2 . AB BH AB BH BC BC AB =  =

Tương tự, cũng có 2 . AC CH CB =

b) Vì HBA ABC   ∽ (cmt)

nên . . AH AB AB AC AH BC AC BC =  =

c) Xét hai tam giác vuông ABH và CHA có HAB ACH = (cùng phụ ABC )

Nên AHB CHA   ∽ (g.g)

Suy ra 2 . AH BH AH BH CH CH AH =  =

d) Ta có

2 2 2

2 2 2 2 2 1 1 . . . . . BC BC AB AC AH BC AB AC AH AB AC AH AB AC AB AC + =  =  = =

Vậy 2 2 2 1 1 1 AH AB AC = + .

H

C B

A

Gv. Lương Anh Nhật – ĐT: 0968.373.054 HÌNH HỌC 9

2 – EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy

II. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác

Từ kết quả của phần trên, ta suy ra

• Định lý 1: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh góc vuông bằng tích của

cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

• Định lý 2: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với

đường cao tương ứng của cạnh huyền đó.

• Định lý 3: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng

tích hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

• Định lý 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng

nghịch đảo bình phương của hai cạnh góc vuông.

Ta dùng các kết quả nêu trên như là một công thức và được phép sử dụng.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH. Biết 12,5 BH = cm, và 72 CH = cm. Tính

AH, AB và AC.

Giải

Ta có 12,5 72 84,5 BC BH CH = + = + =

Lại có

2 . 12,5.72 900 30 cm AH BH CH AH = = =  =

2 . 12,5.84,5 1056,25 32,5 cm AB BH BC AB = = =  =

2 . 72.84,5 6084 78 cm AC CH CB AC = = =  =

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Biết 40 cm AC = , 24 cm AH = . Tính

AB, BC, BH và CH.

Giải

Ta có 2 2 2 2 40 24 32 cm CH AC AH = − = − =

2 2 2 40 . 50 cm 32 AC AC CH CB CB CH =  = = =

2 2 2 2 50 40 30 cm AB BC AC = − = − =

2 2 2 30 . 18 cm 50 AB AB BH BC BH BC =  = = =

Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD, qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H. Biết

20 cm AB = , 12 cm AH = . Tính các cạnh còn lại và đường chéo của hình chữ nhật ABCD.

Giải

D

H

C

B A

HÌNH HỌC 9 – CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

HNT EDUCATION _ Vững kiến thức – Nhạy tư duy – 3

Ta có 2 2 2 2 20 12 14 cm HB AB AH = − = − =

Áp dụng

2 2 2 20 200 . cm 14 7 AB AB BH BD BD BH =  = = =

. . AD AB AH BD =

200 12. . 120 7 cm 20 7 AH BD AD AB  = = =

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Biết 15 cm AB = , 9 cm BH = . Tính

diện tích tam giác ABC.

Giải

Ta có

2 2 2 15 . 25 cm 25 9 16 cm 9 AB AB BH BC BC CH BC BH BH =  = = =  = − = − =

Khi đó 2 . 9.16 9.16 12 cm AH BH CH AH = =  = =

Diện tích tam giác ABC là 2 1 1 . 12.25 150 cm 2 2 ABC S AH BC = = =

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông ở A có AH là đường cao, phân giác AD. Biết 15 cm BD = ,

20 cm DC = . Tính độdài AD.

Giải

Ta có AD là đường phân giác của tam giác ABC

Suy ra 15 3 20 4 AB BD AC CD = = =

Đặt 3 4 AB x AC x =  = với 0 x 

Lại có 35 cm BC BD CD = + =

Áp dụng định lý Pytago, ta có

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 25 35 35 784 28 4 16 AB AC BC x x x x x   + =  + =  =  =  =    

D H C B

A