Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 1/38

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI



I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai:   2 2 0 * , 0 , 4 ax bx c a b ac       .

Gọi S , P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm 1 2 , x x . Hệ thức Viét:

1 2

1 2

b S x x a c P x x a

        

.

 Điều kiện  * PT có hai nghiệm trái dấu 0 P   .

 Điều kiện  * PT có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0

0 P

    

.

 Điều kiện  * PT có hai nghiệm phân biệt dương

0

0

0

S

P

        

.

 Điều kiện  * PT có hai nghiệm phân biệt âm

0

0

0

S

P

        

.

 Các hệ thức thường gặp:

    

2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 . 2 . 2 . 2 x x x x x x x x x x x x S P           .

  

2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 x x x x x x S P       .

  

2 2 2 1 1 2 1 2 4 4 x x x x x x S P       .

      

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 . 4 x x x x x x x x x x x x S S P           .

         2 3 3 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 . 3 . . 3 x x x x x x x x x x x x x x S S P                .

        

2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . 2 2 x x x x x x x x x x x x x x               .

 

2 2 2 2 2 S P P    .

 1 2

1 2 1 2

1 1 x x S x x x x P     .

  

2 2 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2

4 1 1 4 x x x x x x S P x x x x x x P

        .

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ - Trang 2/38

      

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2 1 2

4 . 4 x x x x x x x x x x x x x x S S P x x x x x x x x P

           

      

2 3 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 . . x x x x x x x x x x x x x x             .

       2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 . 4 x x x x x x x x S P S P                 .

          

2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . 4 x x x x x x x x S P S S P          .

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình  

2 2 1 2 1 0 m x mx    . Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc

khoảng   1;0  .

Lời giải

 Xét 1 2 1 0 2 m m    phương trình trở thành   1 0 1 1;0 x x   

 Xét 1 2 1 0 2 m m    khi đó ta có:

   

2 2 2 ' 2 1 2 1 1 0 m m m m m         mọi m .

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m . Ta thấy nghiệm 1 x không thuộc khoảng   1;0 

Với 1 2 m  phương trình còn có nghiệm là 1 1 2 1 2 1 m m x m m      

Phương trình có nghiệm trong khoảng   1;0  suy ra

1 2 1 0 0 1 1 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 0

m

m m m m m m

                      

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng   1;0  khi và chỉ khi 0 m  .

Câu 2: Cho phương trình   2 2 2 1 1 0 x m x m     ( x là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm 1x , 2x của phương trình đã cho thỏa mãn:  

2 1 2 1 2 3 x x x x    .

Lời giải a)     2 2 2 1 4. 1 5 4 m m m      

Phương trình có hai nghiệm phân biệt 5 4 m  

b) Phương trình hai nghiệm 5 4 m  

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2

2 1 2

2 1

1

x x m

x x m

       

Theo đề bài: