Chuyên đề tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC

TRONG TAM GIÁC VUÔNG

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Một số tính chất của các

tỉ số lượng giác

 Cho hai góc ,  phụ nhau. Khi đó:

sin cos ; cos sin ;      

tan cot ; cot tan .      

 Cho góc nhọn . Ta có:

0 sin 1; 0 cos 1;      

2 2 sin cos 1; tan .cot 1;       

sin cos tan ; cot . cos sin        

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Dạng 1: Các bài toán tính toán

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.

Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.

Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.

Bài tập minh họa

Câu 1: Tam giác ABC có  60 ; 28 ; 35 A AB cm AC cm     . Tính độ dài BC.

Lời giải

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Kẻ BH AC  ( H AC  )

Xét tam giác vuông AHB vuông tại H có:

   1 . 28. 60 28. 14 2 AH AB cosA cos cm    

   3 .sin 28.sin 60 28. 14 3 2 BH AB A cm    

  35 14 21 HC AC AH cm      

2 2 2 588 441 1029 BC BH HC      

7 21 BC  

Vậy   7 21 BC cm 

Chú ý

Bằng cách tính tương tự như trên có: tam giác ABC có  60 ; ; A AB a AC b     thì 2 2 2 BC a b ab    ;

3 4 ABC S ab  .

Câu 2: Cho hình vẽ sau biết   45 ; 120 ; 8 ; 5 QPT PTQ QT cm TR cm       .

a) Tính PT.

b) Tính diện tích tam giác PQR.

Lời giải

Kẻ QM PR  (M thuộc tia đối tia TP).

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Có     180 180 180 120 60 PTQ QTM QTM PTQ         

Xét tam giác vuông QTM có:    3 .sin 8.sin 60 8. 4 3 2 QM QT QTM cm    

   1 .cos 8.cos60 8. 4 2 TM QT QTM cm    

TM TR    M nằm giữa T và R.

Xét tam giác vuông QPM có:    4 3 4 3 4 3 tan 45 1 tan

QM PM cm QPM     

   4 3 4 4 3 1 PT PM TM cm       

    4 3 1 5 4 3 1 PR PT TR cm        

    2 1 1 . 4 3. 4 3 1 6 2 3 2 2 PQR S QM PR cm      

Vậy   4 3 1 PR cm   ;   2 6 2 3 PQR S cm   .

Câu 3: Cho ABC  có   60 ; 80 B C    . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM.

Lời giải

Gọi góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM là .

Xét tam giác AMH vuông tại H có tan tan . MH MH AH AH     

Lại có:    2 2 BH HC BH HC BM MH MC MH MH MH         

Mà  tan

AH BH B  (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB)

 tan

AH CH C  (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC).

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

   

 

1 1 1 1 . . 1 1 1 tan 11 20 2 2 2 tan

AH AH C C B B MH AH C B  

                             

Vậy số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM xấp xỉ bằng 11 20  .

Câu 4: Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy

 12 , 18 , 75 AB cm CD cm ADC    .

Lời giải

Diện tích hình thang được tính bởi công thức   1 2 S h AB CD  

(Trong đó h là chiều cao của hình thang).

Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao.

Kẻ , AH CD BK CD   .

Do ABCD là hình thang cân nên 12 , 3 2 CD AB HK AB cm DH KC cm       .

Trong tam giác AHD vuông tại H ta có:  tan tan 75 11,196 3 AH AH D AH cm DH     

Từ đó,     2 1 1 . .11,196. 12 18 167,94 2 2 ABCD S AH AB CD cm      .

Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD.

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ADH ta có: 2 2 2 134,35 AD AH HD cm    . Suy ra

11,59 AD cm  .

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính

AD.

Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là

12 11,59 18 11,59 53,18 AB BC CD DA cm         .

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, mệnh đề

Phương pháp giải

Đưa mệnh đề về dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng và một số kiến thức đã học biến đổi các vế trong

biểu thức, từ đó chứng minh các vế bằng nhau.