Chuyên đề hệ thức Vi-ét và ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG

A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Hệ thức Vi-ét

Cho phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 (a 0). Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình thì:

1 2

1 2

. .

b S x x a c P x x a

         

2. Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

a) Xét phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại là

2 . c x a 

- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = -1, nghiệm còn lại là 2 . c x a 

b) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó

là hai nghiệm của phương trình:

X2- SX + P = 0.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biêu thức đối xứng giữa các nghiệm

Phương pháp giải: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: 0. 0 a    

Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

1 2 b S x x a     và 1 2 . . c P x x a  

Bước 2. Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng x1 + x2 và tích x1x2

sau đó áp dụng Bước 1.

Chú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm thường gặp là:

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x 2 ; A x x x x x S P        

3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3x ( ) 3 S; B x x x x x x x S P         

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x ( 2 ) 2 ; C x x x x x S P P        

2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4x 4 . D x x x x x S P        

1.1. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 5x + 3 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá

trị của các biểu thức:

a) 2 2 1 2; A x x   b) 3 3 1 2; B x x  

1.2 .Cho phưoug trình: -3x2 - 5x-2 = 0. Với x1,x2 là nghiệm của phương trình, không giải phương

trình, hãy tính:

a) 1 2 1 2

1 1 ; M x x x x     b)

1 2

1 1 ; 3 3 N x x    

c) 1 2 2 2 1 2

3 3; x x P x x     d) 1 2

2 1 . 2 2 x x Q x x    

2.1.Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + 2m -5 = 0 (ra là tham số).

a) Tìm điều kiện của ra để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2.

b) Với ra tìm được ở trên, tìm biểu thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào ra.

2.2. Cho phương trình x2 +(m + 2)x + 2m = 0. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình có

hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 ? Khi đó, hãy tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào

ra.

Dạng 2. Giải phương trình bằng cách nhấm nghiệm

Phương pháp giải: Sử dụng ứng dụng của hệ thức Vi-ét.

3.1. Xét tổng a + b + c hoặc a - b + c rồi tính nhẩm các nghiệm của các phương trình sau:

a) 15x2 -17x + 2 = 0;

b) 1230x2 - 4x - 1234 = 0;

c) (2 - 3 )x2 + 2 3 x - (2 + 3 ) = 0;

d) 2 5x - (2 - 5 )x - 2 = 0.

3.2. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 7x2 -9x + 2 = 0; b) 23x2 -9x-32 = 0;

c) 1975x2 + 4x - 1979 = 0; d) 31, 1x2 - 50,9x + 19,8 = 0.

4.1. Cho phương trình (ra - 2)x2 - (2m + 5)x + ra + 7 = 0 với tham số ra.

a) Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số ra.

4.2. Cho phương trình (2m - 1)x2 + (m - 3)x – 6m - 2 = 0.

a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm x = -2.

b) Tìm các nghiệm của phương trình đã cho theo tham số ra.

5.1. Cho phương trình mx2 -3(m + l)x + m2 - 13m - 4 = 0 (ra là tham số). Tìm các giá trị của ra

để phương trình có một nghiệm là x = -2. Tìm nghiệm còn lại.

5.2. Tìm giá trị của tham số ra để phương trình x2 +3mx - 108 = 0 (ra là tham số) có một nghiệm

là 6. Tìm nghiệm còn lại.

Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Phương pháp giải: Để tìm hai số x, y khi biết tổng S = x + y và tích P = x.y, ta làm như sau:

Bước 1. Giải phương trình X2 -SX+P = 0 để tìm các nghiệm X1,X2.

Bước 2. Khi đó các số x, y cần tìm là x = X1,y = X2 hoặc x = X2, y = X1.

6.1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 15,uv = 36; b) u2 + v2 = 13,uv = 6.

6.2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 4,uv = 7; b) u + v = -12,uv - 20.

7.1. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2 + 3 và 2 - 3 .

7.2. Tìm …