Đề khảo sát Toán (chuyên) vào 10 năm 2024 - 2025 trường chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

( Đề thi có 01 trang)

KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10

THPT CHUYÊN LAM SƠN

Năm học: 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN

(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Ngày thi: 07/4/2024

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. a) Cho ,x y là các số hữu tỉ dương thỏa mãn

2

2 2 1 2, xy x y x y   + + + =   +  

chứng

minh 1 xy + là số hữu tỉ.

b) Cho biểu thức

8 ( ) 12 12 3 P x x x x = − + + . Gọi 0x là một nghiệm của

phương trình

2 1 0 x x + −= . Tính giá trị 0 ( ). P x . Câu 2. a) Giải phương trình: 2 3 - 2 5 -1 3. x x x x + = − +

b) Giải hệ phương trình

3

2 (3 2 ) 8

( 3 3) 4.

x y

xy y y

 + =  + + = 

Câu 3. a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 2 5( ) 7( 2 ). x xy y x y + + = +

b) Cho n là số nguyên dương và d là ước dương của 2 2 , n chứng minh

2 n d + không phải là số chính phương. Câu 4. Tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn ( ), O đường cao ( ). AH H BC ∈ Gọi , K L lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm H trên các cạnh , . AB AC Đường thẳng KL cắt đường tròn ( ) O tại hai điểm , P Q ( P và B cùng phía đối với AC ).

a) Chứng minh tứ giác BKLC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . PHQ c) AH cắt lại đường tròn ( ) O tại ( ). T T A ≠ Gọi D là hình chiếu vuông góc của H lên ; KL AD cắt đường tròn ( ) O tại ( ). M M A ≠ Chứng minh  0 90 . HMT = Câu 5. Chứng minh rằng từ 6 số vô tỉ tùy ý ta có thể chọn được 3 số , , a b c sao cho cả 3 số , , a b b c c a + + + đều là số vô tỉ. Bài toán còn đúng không nếu ban đầu là 4 số?

………………………….. Hết …………………………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:................................................................... Số báo danh:.......................... Chữ kí của giám thị số 1 : ……………………………………..….Chữ kí của giám thị số 2:………………

1

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

( Đề thi có 01trang)

KỲ THI KHẢO SÁT CÁC MÔN THI VÀO LỚP 10

THPT CHUYÊN LAM SƠN

Năm học: 2024 - 2025 Môn thi: Toán (chuyên Toán) Ngày thi: Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐÁP ÁN (Chuyên Toán)

Câu 1. a) Ta có:

2

2 2 1 2 xy x y x y   + + + =   +  

⇔( ) ( )

2 2 1 2 1 0 xy x y xy x y   + + − + + =   +   (0,25đ)

⇔

2 1 1 1 0 0 xy xy xy x y x y x y x y x y x y   + + + + − = ⇔ + − = ⇔ + =   + + +   (0,25đ)

( )

2 1 1 xy x y xy x y ⇔ + = + ⇔ + = + (0,5đ) b) Ta có

2 2 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 1 (1 ) 2 1 2 3 x x x x x x x x x x + −= ⇒ = − ⇒ = − + = − − + = − .

8 2 0 0 0 9 12 4 x x x ⇒ = − + (0,5đ)

Do đó

2 0 0 0 0 0 0 ( ) 9 24 16 3 4 3 3 , P x x x x x x = − + + = − + (0,25đ)

mà

2 0 0 0 4 3 3(1 ) 1 3 1 0. x x x − = − + = + > Vậy 0 0 0 ( ) 4 3 3 4. P x x x = − + = (0,5đ) Câu 2. a) ĐK: 2 / 3 x ≥ . Ta có:

( ) ( ) 2 2

2 2 2

3x-2 5x-1 3 3x-2 1 5x-1 ( 3 2) 0

3x+2 ( 1) (5x-1) ( 3 2) 0 (0,5 ) 3x-2 5x-1 ( 1)

x x x x x x

x x x x d x x

+ = − + ⇔ − + + − + − + =

− + − ⇔ + + − + = + + +

2 1 1 ( 3 2) 1 0 3x-2 5x-1 ( 1) x x x x

  ⇔ − + + + =   + + +  

Ta có: 1 1 1 0, 2 / 3 3x 1 ( 1) 5x 4 ( 2) x x x + + > ∀≥ + + + + + +

Suy ra: 2 3 2 0 1, 2 ( ) x x x x tm − + = ⇔ = = KL: 1, 2. x x = = (0,5đ)