Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2023 - 2024 trường THPT chuyên ĐH Vinh - Nghệ An

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH

Câu 1

a) Giải phương trình x3 −2x2 + x −5(x −1)√x −6 = 0.

b) Giải hệphương trình 5x + y = x2y2 −15 2x + 3y = 3x2y2 −13xy −6.

Lời giải.

a) Điều kiện xác định: x ⩾0. Đặt t = (x −1)√x phương trình trởthành

x3 −2x2 + x −5(x −1)√x −6 = 0 ⇔x(x −1)2 −5(x −1)√x −6 = 0 ⇔t2 −5t −6 = 0 ⇔(t + 1)(t −6) = 0.

† Trường hợp 1. t = −1 suy ra 0 ⩽x < 1. Đặt √x = a(0 ⩽a < 1), khi đó ta có

(x −1)√x = −1 ⇔a3 −a + 1 = 0 (vô lý a3 + 1 −a > 0).

† Trường hợp 2. t = 6. Đặt √x = a(a ⩾0), khi đó ta có

(x −1)√x = 6 ⇔a3 −a −6 = 0 ⇔(a −2)(a2 + 2a + 3) = 0 ⇔a = 2 (vì a2 + 2a + 3 = (a + 1)2 + 2 > 2 > 0)

⇔x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy tất cảcác nghiệm thỏa mãn phương trình là x = 4.

b) Ta đặt phương trình như sau 5x + y = x2y2 −15 (1) 2x + 3y = 3x2y2 −13xy −6. (2)

† Trường hợp 1. Nếu x = 0 thì −15 = y = −2 vô lý nên trường hợp này vô nghiệm.

† Trường hợp 2. Nếu x ̸= 0, ta có biến đổi như sau

(1) · 3 −(2) ⇔13x = 13xy −39 ⇔xy = x + 3

⇔y = 1 + 3

x.

Thếy = 1 + 3

x vào phương trình (1), ta có

5x + 1 + 3

x = (x + 3)2 −15 ⇔5x2 + x + 3 = x(x2 + 6x + 9) −15x

⇔x3 + x2 −7x −3 = 0. ⇔(x + 3)(x2 −2x −1) = 0

⇔x ∈{−3, 1 + √

2, 1 − √

2}.

• Nếu x = −3 thì y = 1 + 3 x = 0.

2

NGUYỄN NHẤT HUY −VÕ TRỌNG KHẢI

• Nếu x = 1 + √

2 thì y = 1 + 3

x = −2 + 3 √

2.

• Nếu x = 1 − √

2 thì y = −2 −3 √

2.

Vậy tất cảcác nghiệm (x, y) thỏa mãn là (−3, 0), (1+ √

2, −2+3 √

2), (1− √

2, −2−3 √

2).

∇

3

LỜI GIẢI ĐỀTHI TOÁN VÀO LỚP 10 CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH

Câu 2

a) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x, y) thoảmãn x2 −y2 + 2(3x + y) = 23.

b) Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c có hai nghiệm nguyên. Biết rằng |c| ⩽16 và |P(9)| là sốnguyên tố. Tìm các hệsốb, c.

Lời giải.

a) Ta biến đổi phương trình như sau

x2 −y2 + 2(3x + y) = 23 ⇔(x2 + 6x + 9) −(y2 −2y + 1) = 31. ⇔(x + 3)2 −(y −1)2 = 31. ⇔(x −y + 4)(x + y + 2) = 31.

Từđây, ta xét bảng sau

x −y + 4 31 1 −31 −1 x + y + 2 1 31 −1 −31 x 13 13 −19 −19 y −14 16 16 −14

Vậy tất cảcác nghiệm (x, y) thỏa mãn là (13, −14), (13, 16), (−19, 16), (−19, −14).

b) Gọi hai nghiệm nguyên của P(x) = x2 + bx + c là u, v. Theo định lý Viete ta được u + v = −b, uv = c. Vì |P(9)| là sốnguyên tốnên |(9 −u)(9 −v)| là sốnguyên tốdẫn đến |9 −u| = 1 hoặc |9 −v| = 1. Không mất tính tổng quát, ta giảsử|9 −u| = 1 ⇔u ∈{8, 10}.

† Trường hợp 1. u = 10, vì |c| ⩽16, nên |v| ∈{0, 1} ⇔v ∈{−1, 0, 1}. Mặt khác 9 −1 = 8, 9 −0 = 9, 9 + 1 = 10 đều không là sốnguyên tốnên trường hợp này loại.

† Trường hợp 2. u = 8, vì |c| ⩽16 nên |v| ⩽2. Mà v phải là sốchẵn nên từđây suy ra v ∈{2, −2}. Thửlại cảhai giá trịnày thỏa mãn và ta nhận được giá trịcủa b, c tương ứng là −10, 16 và −6, −16. Vậy tất cảcặp (b, c) thỏa mãn là (b, c) ∈{(−10, 16), (−6, −16)}

∇

4

NGUYỄN NHẤT HUY −VÕ TRỌNG KHẢI

Câu 3 Xét các sốthực không âm a, b, c thoảmãn a2 + b2 + c2 = 1.

Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = 1 √a + 1 + 1 √

b + 1 + 1 √c + 2.

Lời giải. Ta có nhận xét sau

1 √a + 1 + 1 √

b + 1

2 = 1 a + 1 + 1 b + 1 + 2 p

(1 + a)(1 + b) = a + b + 2 ab + a + b + 1 + 2 √

ab + a + b + 1

⩽a + b + 2

a + b + 1 + 2 √

a + b + 1 = 1 + 1 √

a + b + 1

2 .

Do đó ta được 1 √a + 1 + 1 √

b + 1 ⩽1 + 1 √

a + b + 1.

Mặt khác, ta có (a + b + c)2 ⩾a2 + b2 + c2 = 1 suy ra a + b ⩾1 −c. Từđây kết hợp với c ⩽1(vì c ⩾0 và c2 ⩽1), ta suy ra

P ⩽1 + 1 √2 −c + 1 √c + 2 = 1 +

s 1 √2 −c + 1 √c + 2

2 = 1 +

s

1 2 −c + 1 2 + c + 2 √

4 −c2

= 1 +

s

4 4 −c2 + 2 √

4 −c2 ⩽1 +

s

4 4 −1 + 2 √4 −1 = 2 + 1 √

3.

Dấu bẳng xảy ra chẳng hạn khi a = b = 0, c = 1. Vậy giá trịlớn nhất của P là 2 + 1 √

3. ∇

5