Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 - 2024 trường PTNK - TP HCM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10

NĂM HỌC 2023-2024

ĐÁP ÁN TUYỂN SINH LỚP 10

Năm học 2023 – 2024

Môn thi: Toán chuyên

Bài 1. (1 điểm) Biến đổi hpt về dạng:

1 1 4 4 1

1 1 4 4 20

x y x y

x y x y

                                 

.

Suy ra :

1 4 5

1 4 4

x x

y y

       

hoặc

1 4 4

1 4 5

x x

y y

       

(0.5 điểm)

Vậy hệ có nghiệm:   1 1 1 1 1 1 , 1, ; , ; ,1 ; , 2 4 2 2 2 4 x y                    

. (0.5 điểm)

Bài 2. (2 điểm )

a) Ta chứng minh được:       2 2 2 2 3 3 a b c a b c ab bc ca         (0.25 điểm)

Từ giả thuyết:

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 a b c a b c a b c                

. (0.75 điểm)

b) Ta có:  

2

3 a b c ab bc ca abc       . (0.5 điểm)

Ta lại có: 1 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c ab bc ca           . (0.5 điểm)

Bài 3. (1.5 điểm)

a) Gọi x là số ô đen trên mỗi hàng. Khi đó tổng số ô đen của bảng là 4x. Do số ô đen trên các cột đôi một là khác nhau nên số lượng ô đen của các cột lần lượt là bốn trong năm số 0,1,2,3,4. Mà tổng số ô đen là 4x, chia hết cho 4. Còn tổng 0 1 2 3 4 22    chia 4 dư 2 nên trong tổng phải không có số 2. Khi đó: 4 0 1 3 4 2 x x     . (0.5 điểm) b) TH1: Tính theo cột Dễ thấy, trên cột có 4 ô đen hoặc 0 ô đen thì sẽ không có cặp tốt. Trên cột có 3 ô đen hoặc 1 ô đen thì có tối đa 2 cặp tốt. Vậy tối đa có 4 cặp tốt. Cách tô với trường hợp tối đa như sau (0.5 điểm)

TH2: Tính theo hàng Do mỗi hàng có 2 ô đen nên số cặp tốt trên mỗi hàng tối đa là 3. Mà có 4 hàng nên tối đa là 12. Ta sẽ chứng minh tối đa chỉ là 11. Thật vậy, giả sử có trường hợp tô là 12 cặp tốt thì mỗi hàng sẽ có đúng 3. Khi đó trên mỗi hàng ô đen và ô trắng sẽ xen kẽ. Do có một cột cả 4 ô đều tô đen. Điều đó dẫn đến cột kề cột này, các ô phải đều tô màu trắng và tương tự 2 cột còn lại có 1 cột đều gồm ô đen, 1 cột đều ô trắng (trái giả thuyết). Vậy tối đa số cặp tốt chỉ là 11. Cách tô với trường hợp tối đa như sau (0.5 điểm) Bài 4. (2 điểm) Gọi

2 1 m n   (1) và

2 n m a   (2) a) Từ (1) suy ra m, n khác tính chẵn lẻ. Nên a là số lẻ. (0.5 điểm) b) Chứng minh rằng nếu 3.2 1 k a   với k là số nguyên dương thì 1 k . Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta được:    1 3.2

k n m n m     . (0.25 điểm) Do n m  lẻ nên

TH1:  1 1 3

1 3.2

k n m n m

n m

      

Thế (3) vào (1) ta được:

2 2 0 2 3 m m m n        . Suy ra :

2 3.2 6 1 k n m k      (0.25 điểm)

TH2:  3 3 4

1 2

k n m n m

n m

       

Thế (4) vào (1) ta được:  2 4 0 m m l    . (0.25 điểm) c) Chứng minh rằng a không thể là số chính phương. Giả sử a là số chính phương, đặt

2, a b b  . Nhận xét nếu a=0 thì vô lí.

Nếu a=1, thế vào ta được:   

2

2

1 1 0 1

m n m n m n m n n m

              

. Khi đó :  2 1 m m l  

Ta xét với 4 a  . Từ :

2 1 1 m n m    và

2 1 n m  . Thay vào (2):

      

2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 m m b m m b m b m m b m m b              .

Mà

2 2 1 1 2 m b m m    nên suy ra vô lí. Vậy a không thể là số chính phương. (0.75 điểm)