Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2020 - 2021 trường chuyên Trần Hưng Đạo - Bình Thuận

Câu 1.

Giải hệ phương trinh: 2 2

5 . 7

xy x y

xy x y

       

Câu 2.

a) Cho p và 2 p  là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng 1 p  chia hết cho 6.

b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2 1 p  là lập phương của một số nguyên dương.

Câu 3.

Cho các số thực , , 1 x y z  thỏa mãn 1 1 1 2. x y z    Chứng minh rằng:

1 1 1. x y z x y z      

Câu 4.

Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại . H Gọi K là một điểm tùy ý trên cạnh BC với , . K B K C   Kẻ đường kính KM của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF và đường kính KN của đường tròn ngoại tiếp tam giác . CEK Chứng minh rằng , , M H N thẳng hàng.

Câu 5.

Cho 20 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại đường tròn có đúng 12 điểm đã cho bên trong và có đúng 8 điểm đã cho bên ngoài.

…Hết…

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO NĂM HỌC: 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN (Hệ số 2 - Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) -----------------------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang) -----------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

Đặt , S x y P xy    với 2 4 . S P  Khi đó hệ cho trở thành: 2 2 5 5 . 7 12 0

S P P S

S P S S

                      

Ta có: 2 3 12 0 . 4 S S S S

        

Với 3, S  ta có: 2. P  Khi đó 3 2, 1. 2 2, 1 x y x y xy y x

                

Với 4, S  ta có: 9. P  Loại vì 2 4 . S P 

Vậy hệ cho có hai nghiệm      ; 2;1 , 1;2 . x y 

Câu 2.

a) Ta có: p lẽ và 3 p  nên p chia 3 dư 1 hoặc 2.

Nếu   1 mod3 p  suy ra   2 0 mod3 p  vô lí do 2 p  là số nguyên tố lớn hơn 3.

Do đó   2 mod3 p  nên   1 0 mod6 . p Hay 1 p  chia hết cho 6.

b) Vì 2 1 p  là lập phương một số tự nhiên nên đặt 3 2 1 p a  với * a  và a lẽ.

Khi đó ta có:    2 2 1 1 . p a a a    

Do a lẽ nên 1 a chẵn và   2 1 1 1 a a a a    lẽ nên suy ra 1 2. a

Khi đó 3, a  ta có:

33 1 13. 2 p   

Vậy 13 p  là giá trị cần tìm.

Câu 3.

Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 . 1 x y z x y z x y z x y z            

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

   

2 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y z x y z x y z

                     

Suy ra: 1 1 1. x y z x y z      

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3. 2 x y z   

Câu 4.

Ta có: AF AB AE AC    do tứ giác BCEF nội tiếp.

Gọi I là giao điểm của AK với  , BFK ta có:  1 . AI AK AF AB AE AC     

Gọi I là giao điểm của AK với  , CEK ta có:  2 . AI AK AE AC AF AB     

Từ  1 và  2 suy ra . I I 

Hay AK đi qua I là giao điểm thứ hai của đường tròn   BFK và   CEK với . K I 

Ta có       0 180 . EIF EIA AIF ACB ABC BAC      

Suy ra tứ giác AEIF nội tiếp.

Mà tứ giác AEHF nội tiếp nên năm điểm , , , , A E I F F cùng thuộc một đường tròn.

Suy ra:   0 90 AIH AFH   hay  3 . HI IK 

Mặt khác   0 90 MIK NIK   nên , , M I N thẳng hàng và  4 . MN IK 

Từ  3 và  4 suy ra , , M H N thẳng hàng. Ta có điều phải chứng minh.

Câu 5.

Trước hết ta chứng minh tồn tại một điểm P mà khoảng cách từ P đến 20 điểm đã cho là khác nhau. Thật vậy, khoảng cách từ P đến hai điểm , A B bằng nhau khi và chỉ khi P nằm trên đường trung trực của . AB Do đó chỉ cần chọn điểm P không nằm trên đường trung trực của bất cứ đoạn thẳng nào tạo bởi 20 điểm đã cho.

Gọi khoảng cách của P đến 20 điểm đã cho lần lượt là 1 2 3 20 ... . d d d d     Xét đường tròn tâm P bán kính

12, d đường tròn này chứa đúng 12 điểm có khoảng cách đến P gần nhất. Ta có điều phải chứng minh.

-------------------- HẾT --------------------