Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Bunyakovski

HSG TOÁN 8 LỚP TOÁN THẦY NAM

ĐÀO VĂN NAM 1 [P]: 0988.624.083

MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG

BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

BUNYAKOVSKI

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG

A. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM

- GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI

• Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta

có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng

cách giải nhanh hơn.

• Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải.

Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực

trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số

bài không yêu cầu trình bày phần này.

• Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính

xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng

thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=”

phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.

• Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị

thường đạt được tại vị trí biên.

• Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến

trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến

đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu

“=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.

HSG TOÁN 8 LỚP TOÁN THẦY NAM

ĐÀO VĂN NAM 2 [P]: 0988.624.083

I. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM- GM

1. Kỹ thuật tách ghép bộ số

1.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản

Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( )( )( ) abc a c c b b a 8  + + +

Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:

( )( ) d c b a bd ac + +  +

Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

  





c b

c a . Chứng minh rằng:

( ) ( ) ab c b c c a c  − + −

Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

( )( )( ) 3 3 1 1 1 1 c b a abc + + +  +

Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa

  





1

1

b

a . Chứng minh rằng:

ab a b b a  − + − 1 1

Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: ( ) ( )

4 2 16 b a b a ab +  −

Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 3 1 1 1 abc abc a c c b b a +  + + + + +

Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: 1 + +  + + b a a b b a ab

Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 10 = + + c b a . Tìm GTLN của:

5 3 2 c b a A =

1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo

Bài 1: Chứng minh rằng: 0 , 2    + a,b a b b a

HSG TOÁN 8 LỚP TOÁN THẦY NAM

ĐÀO VĂN NAM 3 [P]: 0988.624.083

Bài 2: Chứng minh rằng: 1 , 3 1 1    − + a a a

Bài 3: Chứng minh rằng: R    +

+ a a

a , 2 1

2

2

2

Bài 4: Chứng minh rằng: 0 , 2 1 9 1

3

4

2

   + a a a

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) 1 , 2 1 1

2 2 2 −    

  

 + + + + = a a

a a A

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 0 , 2

2   + = a a a A

Bài 7: Chứng minh rằng: 0 , 3 ) (

1     − + b a b a b a

Bài 8: Chứng minh rằng: ( )( )

0 , 3 1 4

2     + − + b a b b a a

1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng

Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:

Phép cộng:

( ) ( ) ( ) ( ) 

 

+ + + + + = + +

+ + + + + = + +

a c c b b a c b a

2

2 2 2

Phép nhân: ( ) ( )( )( ) 

 

=

 =

ca bc ab c b a

c b a ca bc ab abc

2 2 2

0 , , ,

Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: c b a c ab b ca a bc + +  + +

Bài 2: Cho ba số thực 0  abc . CMR: c a b c a b a c c b b a + +  + + 2

2

2

2

2

2

Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa 1 = abc . CMR:

3 + + +  + + + + + c b a c

b a b

a c a

c b

Bài 4: Cho 2 , , , , c b a p b CA a BC c AB ABC + + = = = =  . CMR: