Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRONG

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

GIÁO VIÊN: TH.S PHẠM VĂN QUÝ – 0943.911.606

1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG

1)

2 2 2 a b c ab bc ca + +  + + , , , a b c R   .

2)

2 . 2 a b a b +      

, , 0 a b  

3)

3 . . 3 a b c a b c + +      

, , 0 a b  

4) ( ) 1 1 4 a b a b   + +     

, a, b > 0

5) 1 1 4 a b a b +  + , a, b > 0

6) ( ) 1 1 1 9 a b c a b c   + + + +     

, a, b, c > 0

7) 1 1 1 9 a b c a b c + +  + + , a, b > 0

8)

2 2 2

, , . 2 2 a b a b a b R + +         

9)

3 3 3

2 2 a b a b + +      

,với , 0 a b   .

10) 2 2

n n n a b a b + +      

,với , 0 a b   , * n N  .

11) ( )

2 2 2 2 , , 3 a b c a b c a b R + + + +    .

12) ( ) ( ) 2 3 , , a b c ab bc ca a b R + +  + +  

13) ( ) 3 3 , , 0 a b ab a b a b +  +  

14) ( ) 4 4 2 2 , , 0 a b ab a b a b +  +  

15) ( ) 5 5 2 2 , , 0 a b a b a b a b +  +  

16) ( )

2 2 2 3 , , 4 a b a ab b a b R + + +   

17)

2 2

2 2 2 2

1, , , 0 3 a ab b a b R a b a ab b − +    +  + +

18) ( )

2 (1 )(1 ) 1 , , 0 a b ab a b + +  +  

19) ( )

3 3 (1 )(1 )(1 ) 1 , , , 0 a b c abc a b c + + +  +  

20) 2 2 1 1 2 1 1 1 a b ab +  + + + , với 1. ab 

2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG

Bài 1. Cho , , 0 x y z  . Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 x xy y y yz z z xz x x y z + + + + + + + +  + +

Giải

 Ta luôn có bất đẳng thức: ( )

2 2 2 3 , , (*). 4 a b a ab b a b + + +  

Chuyên đề: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh bất đẳng thức

Giáo viên: Th.S Phạm Văn Quý – Tell: 0943.911.606

Thật vậy ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 (*) 4 4 4 3 2 2 0 0 a ab b a ab b a ab b a b  + +  + +  − +   −  (luôn đúng).

Dấu “=” xảy ra . a b  =

 Áp dụng (*) ta có: ( ) ( )

2 2 2 3 3 4 2 x y x xy y x y + + +  = +

Tương tự ta có: ( ) 2 2 3 2 y yz z y z + +  + và ( ) 2 2 3 2 z zx x z x + +  +

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có:

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 , 2 x xy y y yz z z xz x x y z x y z + + + + + + + +  + + = + + (đpcm)

Dấu “=” xảy ra . x y y z x y z z x

=    =  = =  = 

Bài 2. Cho , , 0 a b c  thỏa 1 2 3 1 a b c + + . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2 2 4 4 6 9 9 3 3 b ab a c bc b a ac c ab bc ca + + + + + + + + 

Giải

 Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 4 4 6 9 9 3 b ab a c bc b a ac c VT

a b b c c a + + + + + + = + +

2 2 2 2 2 2 1 2 4 4 6 9 9 3 1 a ab b b bc c c ac a = + + + + + + + +

 Đặt 1 2 3 ; ; , , 0. x y z x y z a b c = = =   Ta có: 2 2 2 2 2 2 VT x xy y y yz z z xz x = + + + + + + + +

Theo bài 1 ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 x xy y y yz z z xz x x y z + + + + + + + +  + +

Mặt khác ( ) 1 2 3 3 3 3.1 3. x y z a b c   + + = + +  =    

Do đó 3 , VT VP  = (đpcm).

Dấu “=” xảy ra

1 2 3 3 1 2 3 1 6. 1 2 3 1 2 3 3 1 1 9

a x y z

a b c b a b c c a b c a b c

 =  = = = =         = = =  =    + + =    + + = =   