Một số bài toán về đường tròn

1

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. Sự xác định đường tròn

1. Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R ( ) > R 0 là hình gồm các điểm cách điểm O

một khoảng bằng R. Kí hiệu ( ) O;R hoặc ( ) O

2. Vị trí tương đối của một điểm đối với một đường tròn

Cho đường tròn ( ) O;R và điểm M, khi đó

• M nằm trên đường tròn ( ) O;R khi và chỉ khi = OM R .

• M nằm trong đường tròn ( ) O;R khi và chỉ khi < OM R .

• M nằm ngoài đường tròn ( ) O;R khi và chỉ khi > OM R .

3. Cách xác định đường tròn: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường

tròn và tâm đường tròn đó là giao điểm các đường trung trực của tam giác tạo được tự ba

điểm đó.

4. Tính chất đối xứng của đường tròn

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn

đó.

• Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của

đường tròn.

II. Liên hệ giữa đường kính và dây cung.

1. So sánh độ dài của đường kính và dây

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây

• Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây

ấy.

• Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì

vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

• Trong một đường tròn hai thì dây bằng nhau thì cách đều tâm và hai dây cách đều tâm thì

bằng nhau.

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

• Trong hai dây của một đường tròn thì dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và dây nào

gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

III. Ví trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn ( ) O;R và đường thẳng ∆. Đặt ( ) = ∆ d O, là khoảng cánh từ O đến ∆.

Vị trí tương đối của đường thẳng và

đường tròn

Số điểm

chung

Hệ thức giữa d và

R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 < d R

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc

nhau

1 = d R

Đường thẳng và đường tròn không giao

nhau

0 > d R

Khi đường thẳng ∆ và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng ∆ được gọi là tiếp

tuyến của đường tròn. Điểm chung của đường thẳng và đường tròn được gọi là tiếp điểm. Khi

đường thẳng ∆ và đường tròn tiếp cắt nhau tại hai điểm thì đường thẳng ∆ được gọi là cát tuyến

của đường tròn.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

• Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi

qua tiếp điểm.

• Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua

điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

• Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

• Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

• Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp

điểm.

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

• Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác,

còn tam giác được gọi là ngoại tiếp đường tròn.

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC