Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2024-2025

Môn: TOÁN Đề thi có: 01 trang Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/9/2024

Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số ( ) n u xác định bởi

1 2

1 1 1

2, 3

. , 2 1

n n n n

u u

u u u n u

− + −

= =   = ∀≥  − 

.

a) Tính giới hạn

1 lim n

n n

u u →+∞ +

.

b) Xét dãy số ( ) nv cho bởi

a n n u v n = . Tìm tất cả các giá trị của 𝑎𝑎 để dãy số ( ) nv có giới hạn

hữu hạn khác 0.

Câu 2 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số : f →   thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x f y f x y f xy f x f y xy + + = + + + với mọi ,x y ∈.

Câu 3 (4 điểm). Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của IB, IC với DE, DF; S, T lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. a. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, S, T thẳng hàng. b. Gọi J là giao điểm của MN và IA. Chứng minh rằng đường tròn tâm J bán kính JA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

Câu 4 (4 điểm). Cho , , a b n là các số nguyên dương( ) 2 n ≥ . Biết ( )1 an a bn − +  . Đặt a x b = .

a. Chứng minh rằng: [ ] x không chia hết cho n .

b. Kí hiệu { } [ ] x x x = − . Tính [ ] 1

1

n

i

ix S n

−

=

  =     ∑ .

Câu 5 (4 điểm). Cho số nguyên dương . n Cho 1 2 3 2 ; ; ; ...; n a a a a là một hoán vị của các số

1;2;3;...;2n sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:

i) 1 3 5 2 1 ... ; n a a a a     

ii) 2 4 6 2 ... n a a a a     .

a) Có bao nhiêu hoán vị thỏa mãn các tính chất trên?

b) Xác định tất cả các giá trị mà tổng 1 2 3 4 2 1 2 ... n n S a a a a a a         có thể nhận.

…………………………………HẾT…………………………………

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2024-2025

Môn: TOÁN

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1

(4 điểm)

a. Ta thấy 𝑢𝑢2 > 𝑢𝑢1. Giả sử 𝑢𝑢𝑚𝑚> 𝑢𝑢𝑚𝑚−1, ∀2 ≤𝑚𝑚≤𝑘𝑘.

Ta có

𝑢𝑢𝑘𝑘+1

𝑢𝑢𝑘𝑘=

𝑢𝑢𝑘𝑘−1 𝑢𝑢𝑘𝑘−1−1 = 1 + 1

𝑢𝑢𝑘𝑘−1−1. Mà 𝑢𝑢𝑘𝑘−1 > 𝑢𝑢1 = 2 > 1, suy ra 𝑢𝑢𝑘𝑘+1 𝑢𝑢𝑘𝑘> 1 hay

𝑢𝑢𝑘𝑘+1 > 𝑢𝑢𝑘𝑘. Do đó (𝑢𝑢𝑛𝑛) là dãy tăng.

1

Giả sử tồn tại 𝑀𝑀 sao cho 𝑢𝑢𝑛𝑛< 𝑀𝑀 ∀𝑛𝑛≥1. Khi đó dãy số (𝑢𝑢𝑛𝑛) có giới hạn hữu

hạn. Đặt lim 𝑛𝑛→+∞𝑢𝑢𝑛𝑛= 𝐿𝐿. Chuyển qua giới hạn ta có 𝐿𝐿= 𝐿𝐿2

𝐿𝐿−1 ⇒𝐿𝐿= 0 (vô lý do

𝑢𝑢𝑛𝑛> 𝑢𝑢1 = 2∀𝑛𝑛≥2). Do đó lim 𝑛𝑛→+∞𝑢𝑢𝑛𝑛= +∞.

Vậy lim 𝑛𝑛→+∞

𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛+1 = lim 𝑛𝑛→+∞

𝑢𝑢𝑛𝑛−1−1

𝑢𝑢𝑛𝑛−1 = lim 𝑛𝑛→+∞ቀ1 − 1

𝑢𝑢𝑛𝑛−1ቁ= 1.

1

b.

𝑢𝑢𝑛𝑛+1 −𝑢𝑢𝑛𝑛= 𝑢𝑢𝑛𝑛. 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 −1 −𝑢𝑢𝑛𝑛= 𝑢𝑢𝑛𝑛൬ 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 −1 −1൰= 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛−1 −1 =

𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛−1

1 − 1 𝑢𝑢𝑛𝑛−1

⇒lim 𝑛𝑛→+∞(𝑢𝑢𝑛𝑛+1 −𝑢𝑢𝑛𝑛) = lim 𝑛𝑛→+∞

𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑢𝑢𝑛𝑛−1

1 − 1 𝑢𝑢𝑛𝑛−1

= 1.

Do đó, theo định lý trung bình Cesaro ta có lim 𝑛𝑛→+∞

𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑛𝑛= 1.

Vậy 𝑎𝑎= 1 thỏa mãn bài toán.

1

Ta sẽ chứng minh 𝑎𝑎≠1 không thỏa mãn đề bài. Thật vậy

+) với 𝑎𝑎> 1: lim 𝑛𝑛→+∞

𝑢𝑢𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑛𝑛= lim 𝑛𝑛→+∞ቀ 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑛𝑛 ቁ= lim 𝑛𝑛→+∞ቀ 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑛𝑛. 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑎𝑎−1 ቁ= +∞.

+) với 𝑎𝑎< 1: lim

𝑛𝑛→+∞

𝑢𝑢𝑛𝑛𝑎𝑎

𝑛𝑛= lim

𝑛𝑛→+∞ቀ 𝑢𝑢𝑛𝑛 𝑛𝑛. 1

𝑢𝑢𝑛𝑛1−𝑎𝑎 ቁ= 0.

1

Câu 2

(4 điểm)

Ta có: [ ][ ] ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 2 1 f x f y f x y f xy xy − − + + −= −+ +

Đặt ( ) ( ) 1 g x f x = − ta được phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, , (1) g x g y g x y g xy xy x y + + = + + ∀ ∈

Kí hiệu ( )( ; ) n P a b là phép thế , x a y b = = vào phương trình (1).

0.5

(1)(0;0) : (0) 1 P g = hoặc (0) 1 g = −

TH1: (0) 1 g = , xét (1)( ;0) P x ta được ( ) 1, g x x = ∀∈. Thử lại không thỏa mãn

0.5

TH2: (0) 1 g = −, (1)(1; 1) : (1) 1 P g − = hoặc ( 1) 0 g − =

Xét (1) 1 g = , xét (1)( ;1) P x ta được ( ) 2 1, ( ) 2 , g x x x f x x x = − ∀∈ ⇒ = ∀∈  .

Thử lại thỏa mãn.

0.5