Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2024 - 2025 trường THPT Lương Ngọc Quyến - Thái Nguyên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN

Đề có 01 trang

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2024-2025

MÔN TOÁN 12 (Thời gian làm bài: 180 phút)

Câu 1. (6 điểm)

a. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số  

2 6 4 y x x    .

b. Cho hàm số  y f x  liên tục trên và có    2 f x x x    . Tìm số các giá trị nguyên của

  10;10 m để hàm số      2 1 2024 1 2025 g x f x m x      đồng biến trên khoảng   0;3 .

Câu 2. (3 điểm) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH = 6km (tham khảo hình vẽ). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi kilômét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130000 USD mỗi kilômét, biết rằng AH = 9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

Câu 3. (2 điểm) Hai bạn An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn gồm 5 séc (mỗi séc chỉ có kết quả thắng hoặc thua), người nào thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để An thắng mỗi séc là 0,4. Tính xác suất để An thắng chung cuộc. Câu 4. (5 điểm) Cho hình chóp .S ABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt

đáy. Biết , 2 AB a AD a   và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 6 3 a .

a. Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a.

b. Tính cosin của góc phẳng nhị diện   , , B SC D .

Câu 5. (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng   BCD . Tam giác BCD là

tam giác đều và AB a  , 2 BC a  . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường AC và BD.

Câu 6. (2 điểm) Cho biểu thức  9 2 9 3

x

x f x    . Tính tổng 1 2 2024 ... 2025 2025 2025 S f f f                      

.

-----------------------Hết----------------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, không được sử dụng máy tính cầm tay)

Họ và tên thí sinh:……………………………………………………….

SỞ GD&ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

MÔN: TOÁN 12

NĂM HỌC 2024-2025

Câu Nội dung Điểm

1a

(2

điểm)

Câu 1. (6 điểm)

a. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số  

2 6 4 y x x    .

b. Cho hàm số  y f x  liên tục trên và có    2 f x x x    . Tìm số các giá

trị nguyên của   10;10 m để hàm số      2 1 2024 1 2025 g x f x m x     

đồng biến trên khoảng   0;3 .

TXĐ: D 

       2 2 2 2

2 2 6 2 6 4 ' 6 ' 4 6 4 ' 4

4 4

x x x x y x x x x x

x x

              

2 1 ' 0 2 6 4 0 2 x y x x x

        

1,0

Lập BBT của hàm số và kết luận

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu   2; 8 2  , điểm cực đại   1; 5 5 

1,0

1b

(4

điểm)

Ta có         2 2 ' ' 1 2024 1 1 3 2024 2024 g x f x m x x m          0,5

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;3) khi   ' 0, 0;3 y x   (dấu “=” xảy ra tại hữu

hạn điểm thuộc khoảng (0;3)).

0,5

   

 

2 2

2 2 ' 0, 0;3 4 2021 2024 0, 0;3

2024 4 2021, 0;3

y x x x m x

m x x x

       

    

1,0

Đặt h(x) = -x2 +4x+2021 với x (0;3). Có

    ' 2 4; ' 0 2 0;3 h x x h x x      

Bảng biến thiên của hàm số h(x) trên khoảng (0;3)

x 0 2 3

h’(x) + 0 -

h(x) 2025 2024

2021

1,0