Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Quảng Ngãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2024-2025

Ngày thi: 24/9/2024 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1 (5,0 điểm). Cho dãy số thực ( ) n u được xác định bởi 1 3 u = và 1

1

n n u u n + = +

với mọi 1. n 

a) Chứng minh rằng ( ) n u là dãy số giảm.

b) Tính ( ) lim 1 . n n u −

Bài 2 (5,0 điểm). Đa thức ( ) f x hệ số thực được gọi là “đẹp” nếu nó có thể được biểu

diễn thành dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 f x P x Q x = − (*) với ( ) ( ) , P x Q x là các đa thức hệ số

thực. Chứng minh rằng:

a) 2 2024 2025 x − + là một đa thức “đẹp”.

b) Nếu ( ) 1 f x = thì ( ) ( ) , P x Q x phải là các đa thức hằng để đẳng thức (*) xảy ra.

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, không cân. Gọi ( ) I là đường tròn tâm I

nội tiếp tam giác ABC và , , D E F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn ( ) I với các cạnh , , BC CA AB . Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , K là chân đường cao kẻ từ D của tam giác , DEF L là điểm đối xứng của I qua . EF

a) Chứng minh rằng các điểm , , H K L có cùng phương tích đối với đường tròn đường kính BE và đường tròn đường kính . CF

b) Đường thẳng DK cắt AH tại M . Chứng minh rằng đường tròn tâm H , bán kính HM đi qua trực tâm của tam giác . DME

Bài 4 (5,0 điểm). Cho một dãy gồm 30 chữ số 1 như bên dưới

111111111111111111111111111111

a) Có bao nhiêu cách thêm 5 chữ số 0 vào dãy đã cho để tạo thành một xâu kí tự sao cho giữa hai chữ số 0 nào cũng có ít nhất 4 chữ số 1?

b) Có bao nhiêu cách điền một hoặc nhiều dấu cộng ( ) + vào giữa các chữ số 1

trong dãy đã cho ban đầu sao cho tổng thu được chia hết cho 30?

HẾT

Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA THPT

NĂM HỌC 2024-2025

Ngày thi: 25/9/2024 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 5 (6,0 điểm). Cho hàm số : f → khác hằng và thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 2 x f x f y xf xy f y + − = − với mọi , . x y

a) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ), , . f xy f x f y x y =  

b) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 6 (7,0 điểm). Với mỗi số nguyên dương k , kí hiệu ( ) S k là tổng các chữ số của k viết trong hệ thập phân.

a) Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 ... 2023 2024 2025 . S S S S S S S − + − + + − +

b) Xét các số 2 1 m n n = + + với . n +  Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ). S m

c) Tìm tất cả các đa thức ( ) P x bậc nhất, hệ số nguyên không âm sao cho

( ) ( ) ( ) ( ), . S P n P S n n + = 

Bài 7 (7,0 điểm).

a) Cho ngũ giác đều 1. P Chứng minh rằng không thể chọn một hệ trục tọa độ trên mặt phẳng chứa 1P sao cho tất cả các đỉnh của ngũ giác đã cho đều có tọa độ nguyên.

b) Kéo dài các cạnh của ngũ giác đều 1P cắt nhau tạo ra hình sao 1. S Nối các đỉnh kề nhau của 1, S ta nhận được ngũ giác đều mới 2, P và lại kéo dài các cạnh của 2P tạo ra hình sao mới 2. S Lặp lại quá trình ấy ta thu được dãy vô hạn các hình ngũ giác đều và hình sao

1 1 2 2 3 3 , , , , , , ... P S P S P S Kí hiệu độ dài cạnh của các ngũ giác đều 1 2 3 , , , ... P P P là

1 2 3 , , , ... p p p và độ dài cạnh của các hình sao 1 2 3 , , , ... S S S là 1 2 3 , , , ... s s s

Xét dãy số ( ) n u : 1 1 2 2 3 3 , , , , , , ... p s p s p s . Chứng minh rằng kể từ số hạng thứ ba, mỗi số hạng của dãy bằng tổng của hai số hạng đứng ngay trước nó.

c) Hỏi trong dãy 1 1 2 2 3 3 , , , , , , ... P S P S P S , tồn tại hay không hình ngũ giác và hình sao mà độ dài cạnh của hình sao gấp 2024 lần độ dài cạnh của hình ngũ giác? Vì sao?

HẾT Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm.

...

S2 S1 P2 P1

p1

s2 s1

p2

ĐỀ CHÍNH THỨC