Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Quảng Trị

Trang 1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

(Đề gồm có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT

Năm học 2024 - 2025

MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (2,0 điểm)

An và Bình cùng sống trong một căn nhà trên con đường dọc bờ biển. An làm việc ở một hòn đảo du lịch cách đường bờ biển 3 km. Hằng ngày, sau giờ làm An di chuyển bằng cáp treo từ đảo về ga cáp treo nằm trên đường bờ biển tại vị trí gần hòn đảo nhất, sau đó đón xe buýt về nhà cách ga cáp treo 14 km. Một ngày, do sự cố cáp treo nên An phải di chuyển bằng thuyền về bờ biển và nhờ Bình từ nhà đến đón tại bến thuyền. Biết rằng, thuyền và Bình xuất phát cùng thời điểm và khi thuyền đưa An về đến bến cũng là lúc Bình vừa đến; tốc độ của thuyền là 15 km/h còn Bình di chuyển với tốc độ 30 km/h; bến thuyền nằm trên đường bờ biển và quãng đường từ nhà An đến bến thuyền ngắn hơn quãng đường đến ga cáp treo.

Giả sử đường bờ biển là một đường thẳng và thuyền di chuyển trên một đường thẳng. Hãy tính khoảng cách giữa ga cáp treo và bến thuyền.

Câu 2. (2,5 điểm)

Mỗi tuần, một tổ sản xuất được nhà máy cung cấp tối đa 22 kg nguyên liệu X và 30 kg nguyên liệu Y để sản xuất 10 sản phẩm gồm các loại A, B và C. Biết rằng, để sản xuất một sản phẩm loại A cần 3 kg nguyên liệu X và 1 kg nguyên liệu Y; sản xuất một sản phẩm loại B cần 1 kg nguyên liệu X và 3 kg nguyên liệu Y; sản xuất một sản phẩm loại C cần 2 kg nguyên liệu X và 4 kg nguyên liệu Y. Tiền công sản xuất mỗi sản phẩm loại A, B, C lần lượt là 1,2 triệu đồng, 1,3 triệu đồng và 1,5 triệu đồng. Hỏi trong một tuần, tổ công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để số tiền công nhận được là lớn nhất?

Câu 3. (3,0 điểm)

Xét một chất điểm chuyển động trên một trục số thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên. Giả sử vị trí ( ) s t (mét) của chất điểm trên trục số đã chọn tại thời điểm t (giây) được cho

bởi công thức 3 2 ( ) 9 15 2, 0 s t t t t t = − + − +  .

a) Hỏi trong khoảng thời gian nào thì chất điểm chuyển động lên trên?

b) Trong 6 giây đầu tiên chất điểm di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?

Câu 4. (3,5 điểm)

1. Tổ I có 15 học sinh, trong đó có 7 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Tổ II có 14 học sinh, trong đó có 5 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi tổ 3 học sinh. Tính xác suất để mỗi tổ đều có ít nhất một học sinh nam được chọn.

2. Tô màu tất cả các đỉnh của đa giác lồi 1 2 10 ... A A A (10 đỉnh) bằng hai màu xanh và đỏ

(mỗi đỉnh tô một màu). Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào của đa giác có cùng màu đỏ?

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Trang 2/2

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho hình lục giác đều 1L có cạnh bằng 2024. Nối trung điểm các cạnh kề nhau của 1L để

được hình lục giác đều 2 L . Từ hình lục giác đều 2 L tiếp tục làm như trên ta được hình lục giác

đều 3L . Lặp lại cách làm này ta thu được dãy vô hạn các hình lục giác đều 1 2 3 , , ..., ,... n L L L L Gọi

iS là diện tích hình lục giác đều ( 1,2,3,...). iL i = Tính tổng 1 2 3... ... n T S S S S = + + + +

Câu 6. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có cạnh BC a = , AB c = thỏa mãn 2 .cos 2 .sin , 2 2 B B a c a c − = +

với 2a c . Chứng minh tam giác ABC cân.

Câu 7. (4,0 điểm)

Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ( ). SA ABCD ⊥ Biết , AB a =

2 AD a = và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( ) SBC bằng 6 . 3 a

a) Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a.

b) Tính côsin của góc phẳng nhị diện   , , . B SC D

Câu 8. (1,0 điểm)

Với ( ) ;x y là các cặp số thỏa mãn bất phương trình 2 2 ln(2 ) 1 ln( 2 ) x y x y +  + , tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 2 T x y = + .

---------HẾT---------

Họ và tên thí sinh: …………………………………. Số báo danh: ………………….……