Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT TP HCM

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰTHI

THÀNH PHỐHỒCHÍ MINH HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2024-2025

Môn thi: TOÁN

ĐỀTHI CHÍNH THỨC Ngày thi thứnhất: 20/9/2024

(Đềthi có 1 trang, gồm 4 bài) Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số(un) và (vn) xác định bởi

      

     

u1 = 3, v1 = 2

un+1 + vn+1 = (un + vn)2 + v2 n, ∀n ≥1

vn+1 = 2vnun a) Chứng minh rằng u2 n −2v2 n = 1, ∀n ≥1

b) Tính lim n→+∞ un

vn

Bài 2. (5 điểm) Cho a, b, c là các sốthực dương

a) Tìm tất cảcác bộhoán vị(x, y, z) của (a, b, c) sao cho:

xy b2 + ca + yz c2 + ab + zx a2 + bc ≤1

b) Chứng minh rằng với mọi hoán vị(x, y, z) của (a, b, c) ta luôn có:

x

s

bc + 2a2

b(c + 2a)3 + y

s

ca + 2b2

c(a + 2b)3 + z

s

ab + 2c2

a(b + 2c)3 ≥1

Bài 3. (5 điểm) Sốnguyên dương n được gọi là số"tốt" nếu thỏa mãn đồng thời:

i) Với mọi d là ước nguyên dương của n thì 1d, 2d, ..., 46d đều có sốdư phân biệt khi

chia cho 47.

ii) τ(n)2 | n

a) Chứng minh rằng nếu n là số"tốt" thì n là sốchính phương.

b) Tìm tất cảsố"tốt" không vượt quá 2025.

Bài 4. (5 điểm) Cho △ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. Gọi A′, D lần

lượt là điểm đối xứng của A qua BC và đối xứng của A qua O. Gọi P là điểm trên BC sao

cho AP ⊥OH. H′ là trực tâm của △APD.

a) Nếu ∠BAC = 60◦thì H′D đi qua điểm chính giữa cung nhỏBC của (O).

b) Chứng minh rằng H′A′ ⊥OP. Nếu ∠BAC = 45◦thì H′ đối xứng với O qua BC.

THPT Chuyên Lê Hồng Phong 10CT1

Bài 1. (5 điểm)

Cho dãy số(un) và (vn) xác định bởi

      

     

u1 = 3, v1 = 2

un+1 + vn+1 = (un + vn)2 + v2 n, ∀n ≥1

vn+1 = 2vnun a) Chứng minh rằng u2 n −2v2 n = 1, ∀n ≥1

b) Tính lim n→+∞ un

vn

Lời giải.

a) (Dương Thiên Phúc)

un+1 + vn+1 = (un + vn)2 + v2 n

⇔un+1 + vn+1 = u2 n + 2v2 n + 2unvn

⇔un+1 = u2 n + 2v2 n

Ta có:

  

 

un+1 = u2 n + 2v2 n

vn+1 = 2unvn

⇒

  

 

un+1 = u2 n + 2v2 n √

2vn+1 = 2 √

2unvn

⇒

  

 

un+1 + √

2vn+1 = (un + √

2vn)2

un+1 − √

2vn+1 = (un − √

2vn)2

⇒

  

 

un = 1

2 (3 + 2 √

2)2n−1 + (3 −2 √

2)2n−1

vn = 1 2 √

2

(3 + 2 √

2)2n−1 −(3 −2 √

2)2n−1

⇒u2 n −2v2 n = 1

4 (3 + 2 √

2)2n−1 + (3 −2 √

2)2n−1 2 −1

4 (3 + 2 √

2)2n−1 −(3 −2 √

2)2n−1 2

⇒u2 n −2v2 n = 1

4 2.(3 −2 √

2)2n−1 2.(3 + 2 √

2)2n−1 = 12n−1 = 1

b) Cách 1: (Dương Thiên Phúc)

Ta có: lim n→+∞ un

vn = lim n→+∞

1 2 (3 + 2 √

2)2n−1 + (3 −2 √

2)2n−1

1 2 √

2

(3 + 2 √

2)2n−1 −(3 −2 √

2)2n−1

= lim n→+∞

√

2. a2n−1 + 1 a2n−1

a2n−1 − 1 a2n−1

= lim n→+∞

√

2.a2n−1

a2n−1

2

THPT Chuyên Lê Hồng Phong 10CT1

= lim n→+∞

√

2 = √

2

b) Cách 2: (Nguyễn Võ Minh Quân)      

    

u1 = 3, v1 = 2

un+1 + vn+1 = (un + vn)2 + v2 n, ∀n ≥1 (1)

vn+1 = 2vnun (2)

Từgiảthiết và câu a), ta được:

  

 

u2 n −2v2 n = 1

u2 n + 2v2 n = un+1

⇒v2 n = un+1 −1

n ≥0

⇒un+1 ≥1 > 0

⇒un > 0, ∀n ∈N∗

Giảsửvn+1 = 0

(2) ⇒



 vn = 0

un = 0 (loại) ⇒vn = 0

⇒vn+1 = vn = ... = v1 = 0 (sai)

⇒vn ̸= 0, ∀n ∈N∗

⇒un.vn ̸= 0; un+1 ̸= 0

Lấy (2) chia cho (1), ta được: un+1

vn+1 + 1 = un

2vn + 1 + vn

2un + vn

2un ⇒un+1

vn+1 = un

2vn + vn

un Đặt an = un

vn an+1 = an

2 + 1

an Giảsử∃an+1 < √

2

⇒an+1 = an

2 + 1

an < √

2

⇒(an − √

2)2

2an < 0 (sai)

⇒an+1 ≥ √

2, ∀n ∈N∗

Xét an+1 = √

2

⇒an+1 − √

2 = (an − √

2)2

2an = 0

⇒an = √

2

⇒an+1 = an = ... = a1 = √

2 sai do u1

v1 = 3

2

3