Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Sóc Trăng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI SÓC TRĂNG QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2024-2025 ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề)

Ngày thi: 17/8/2024

Đề thi này có 01 trang Bài 1: (5,0 điểm)

Xét dãy số   n u xác định bởi 1 6 u  và 1

3 3 ,

n

n n

n u u u   với mọi 1. n 

a) Chứng minh rằng lim . n n u  

b) Cho dãy số   nv xác định bởi , 3

n n n u v  với mọi 1. n  Chứng minh rằng dãy số   nv có

giới hạn hữu hạn khi . n  Bài 2: (5,0 điểm)

a) Cho hàm : f    thoả mãn         2 2 , x f y f y f x f x yf x      với mọi , . x y 

Biết  0 f khác 0. Chứng minh rằng f đơn ánh.

b) Số nguyên dương n được gọi là “đẹp” nếu như tồn tại đa thức hệ số thực  P x bậc ,n có

hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

i)  15, . P x x  

ii) Tập nghiệm của  P x có chứa các số 3; 1;1   và 3. Chứng minh rằng 4 n  và 6 n  không phải là số đẹp. Từ đó tìm tất cả các số đẹp. Bài 3: (5,0 điểm)

Cho đường tròn , O hai điểm , B C cố định thuộc đường tròn, BC không là đường kính

của , O điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC không cân tại . A Hai

tiếp tuyến tại , B C của  O cắt nhau tại . D Đường thẳng AD cắt  O tại điểm E khác . A

Kẻ đường kính EF của , O gọi M là giao điểm của BF và , CE N là giao điểm của CF

và , BE P là giao điểm của AF và . MN a) Chứng minh rằng D là trung điểm của . MN b) Chứng minh rằng P thuộc một đường thẳng cố định. Bài 4: (5,0 điểm) Với k là số nguyên dương, xét phương trình nghiệm nguyên dương

      3 3 3 . x y z y z x z x y k      

a) Chứng minh rằng với 2024 2025 k  thì phương trình trên vô nghiệm. b) Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương 2024 k  để phương trình trên có nghiệm nguyên dương?

--- HẾT ---

Họ tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ..............................................

Chữ ký của Giám thị 1: .................................Chữ ký của Giám thị 2: .....................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI SÓC TRĂNG QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2024-2025 ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN (Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 18/8/2024

Đề thi này có 01 trang Bài 5: (6,0 điểm) a) Với , , a b c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng

2 2 2 1 1 1 3 . a bc b ca c ab ab bc ca        

b) Tìm tất cả các số thực a sao cho tồn tại hàm số : f    thoả mãn

  2024 2024 f  và

      , a f x f f y x y    với mọi , . x y

Bài 6: (7,0 điểm)

a) Có bao nhiêu cách chọn ra hai số phân biệt từ 2024 số nguyên dương đầu tiên sao cho hai số được chọn hơn kém nhau không quá 5 đơn vị? b) Một lớp học có 45 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng m câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có đúng 5 học sinh và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì 99. m  c) Với số nguyên dương   2 , n n  xét tập hợp A gồm n số nguyên dương. Ký hiệu

 f A là số các giá trị phân biệt tạo thành từ việc lấy tổng hai phần tử tùy ý của .A

Chứng minh rằng  2 3. f A n   Tìm tất cả các tập hợp A sao cho đẳng thức xảy ra.

Bài 7: (7,0 điểm)

Cho hai đường tròn    1 2 , O O cùng bán kính , R cắt nhau tại , A B và 1 2 . O O R 

Đường thẳng qua , A vuông góc với , AB cắt lại    1 2 , O O theo lần lượt tại , . C D Trên

nửa mặt phẳng bờ CD chứa , B xét tia Ax tạo với tia AC góc 60 và tia Ax cắt   2 O

tại , E cắt   1 O tại . F

a) Chứng minh rằng 1 2 , , , O O E F cùng thuộc một đường tròn, đồng thời , DE CF cắt

nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng qua B và vuông góc với . Ax b) Trên nửa đường tròn đường kính , CA khác phía với 1, O dựng T sao cho . CT R 

Chứng minh rằng 1 2 2 . O E O F TA  

--- HẾT ---

Họ tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: .....................................

Chữ ký của Giám thị 1: ..............................Chữ ký của Giám thị …