Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian Toán 12 chương trình mới

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

1

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) . Vectơ 0 n  và có giá vuông góc với mặt phẳng

( )  gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) .

Nhận xét:

• Nếu n là một vectơ pháp tuyến của ( )  thì .k n ( ) 0 k  cũng là một vectơ pháp tuyến của ( ) .

• Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) . Nếu hai vectơ a và b không cùng phương

và giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng( )  thì ,a b là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng

( ) .

Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương : Trong không gian Oxyz , nếu mặt

phẳng ( )  nhận hai vectơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a = và ( ) 1 2 3 ; ; b b b b = . làm cặp vectơ chỉ phương thì ( )  nhận

, n a b   =   làm vectơ pháp tuyến.

C

H

Ư

Ơ

N

G

5

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 01 BÀI

LÝ THUYẾT CẦN NHỚ A

1 Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

2

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Chú ý: Vectơ ( ) 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 ; ; n a b a b a b a b a b a b = − − − được gọi là tích có hướng của hai vectơ ( ) 1 2 3 ; ; a a a a =

và ( ) 1 2 3 ; ; b b b b = . Tích có hướng của hai vectơ a và b được kí hiệu là ,a b    .

• ( ) 2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

, ; ; ; ;

a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b

   = = − − −      

.

• a cùng phương với b , 0 a b    =   .

• Nếu , n a b   =   thì vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a và b .

Định nghĩa: Trong không gian Oxyz , phương trình có dạng 0 Ax By Cz D + + + = , trong đó A , B , C

không đồng thời bằng 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét: Cho mặt phẳng ( )  có phương trình tổng quát là 0 Ax By Cz D + + + = . Khi đó:

• Mặt phẳng ( )  có một vec-tơ pháp tuyến là ( ) ; ; n A B C =

• Điểm ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ; ; 0 N x y z Ax By Cz D    + + + =

• Mỗi phương trình 0 Ax By Cz D + + + = (trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0) đều là phương

trình của một mặt phẳng xác định.

Một số dạng toán viết phương trình mặt phẳng cơ bản:

Dạng 1: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và có một vectơ pháp tuyến

( ) ; ; n A B C = là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 A x x B y y C z z − + − + − = 0 Ax By Cz D  + + + = với 0 0 0 D Ax By Cz = − − − .

Dạng 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một cặp vectơ chỉ phương

2 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716

3

Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )  đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và có cặp vectơ chỉ phương

a , b thì ta thực hiện như sau:

Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến , n a b   =  .

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua điểm ( ) 0 0 0 0 ; ; M x y z và có vectơ pháp tuyến n .

Dạng 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )  đi qua ba điểm A , B , C không thẳng hàng thì ta thực

hiện như sau:

Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương chẳng hạn AB , AC .

Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến , n AB AC   =  .

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua A và có vectơ pháp tuyến n .

Dạng 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng theo đoạn chắn

Phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )  đi qua ba điểm ( ) ;0;0 A a , ( ) 0; ;0 B b , ( ) 0;0; C c là:

1 x y z a b c + + = .

Điều kiện để hai mặt phẳng song song: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng …