Vectơ và hệ tọa độ trong không gian Toán 12 CTST - Nguyễn Vũ Minh

Biên Hoà – Đồng Nai Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh 0917.05.00.99

1

Bài 01: Vectơ và các phép toán trong không gian

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

● Kí hiệu AB chỉ vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B.

● Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu

và điểm cuối của nó. Kí hiệu là a .

● Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và

điểm cuối của vectơ đó.

● Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

● Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc

ngược hướng.

Ví dụ hình bên:

● Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Nếu hai vectơ a , b bằng nhau thì ta viết là a b = .

● Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng.

Vectơ đối của a được kí hiệu là a −.

Ví dụ 01: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.

a) Chỉ ra các vectơ có điểm đầu là S và điểm cuối là các đỉnh của đa

giác đáy.

b) Tìm các vectơ có độ dài bằng độ dài của vectơ SA.

c) Tìm các vectơ đối của vectơ CB .

Ví dụ 02: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ (Hình vẽ).

a) Giá của ba vectơ , , A AB D A A  có cùng nằm trong một mặt

phẳng không?

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB .

c) Tìm các vectơ đối của vectơ AD .

Chương II: VECTƠ và HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Vectơ trong không gian 1

Biên Hoà – Đồng Nai Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh 0917.05.00.99

2

a) Tổng của hai vectơ: Lấy ba điểm O, A, B sao cho OA a = ,

AB b = . Ta gọi OB là tổng của hai vec tơ a và b , kí hiệu a b + .

Ví dụ 01: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' (Hình 5).

a) Trong mặt phằng ( ) ABCD , tìm vectơ tổng AB BC + .

Trong mặt phằng ) (A B C D , tìm vectơ tổng A B B C +  .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ AB và , A B BC  và

, B C AC  và A C .

c) Giải thích tại sao AB BC A B B C   +  + = .

Ví dụ 02: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

a) Tìm các vectơ tổng: , AB AD AC AA +  + .

b) Dùng kết quả của câu a và tính chất kết hợp của phép cộng

vectơ đế chứng minh AB AD AA AC  + =  + .

Tính chất giao hoán: a b b a + = +

Tính chất kết hợp: ( ) ( ) a b c a b c + + = + + ;

Với mọi vectơ a , ta luôn có: 0 0 a a a + = + = .

Tổng – hiệu hai vectơ 2

Biên Hoà – Đồng Nai Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh 0917.05.00.99

3

Ví dụ 03: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm các vectơ: a) DA DC DH + + ;

b) HE GC AB + + .

Ví dụ 04: Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc

o 100

và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã

cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên.

b) Hiệu của hai vectơ: Trong không gian, cho hai vec tơ ,a b .

Ta gọi ( ) a b + − là hiệu của hai vec tơ a và b , kí hiệu a b −.

Ví dụ 02: Cho hình chóp S.ABCD

có đáy là hình bình hành. Khi đó:

AS DC − =

CS DA − =

SD SB − =

Ví dụ 02: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'

a) Trong mặt phẳng (ABCD), tìm vectơ hiệu AB AD − .

Trong mặt phắng ) (A B C D , tìm vectơ hiệu A B A D −  .

b) Tìm mối liên hệ giữa các cặp vectơ AB và , A B AD  và

, A D DB  và D B .

c) Giải thích tại sao AB AD A B A D   −  − = .

Gv. Nguyễn Vũ Minh Sưu Tầm và Biên Soạn

Zalo: 0917 05 00 99