Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2024 - 2025 phòng GDĐT thành phố Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS (LỚP 8)

CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2024 - 2025

MÔN: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày giao lưu: 09/01/2025.

Câu 1. (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức

3 2

2 2 2 3 1 1 1 A 1 2 1 1 1 x x x x x x x x x                  

, với 1 x .

Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực , , 0 a b c  và không phải là các số đối của nhau, thỏa mãn

2025 ab bc ca    . Tính giá trị biểu thức:        

2 2 2

2 2 2 B

2025 2025 2025

a b b c c a

a b c

       

Câu 3. (2,0 điểm) Tìm x biết:

2 2 1 1 2 12 0. 2 4 4 x x x x x x                     

Câu 4. (2,0 điểm)

1) Xác định đa thức f( ). x Biết rằng đa thức f( ) x chia cho 2 x  dư 11, chia cho 2 x  dư -1, chia cho 2 4 x  được thương là 3x và còn dư.

2) Có 3 hộp đựng thẻ. Hộp 1 chứa các tấm thẻ đánh số   1;2;3 .Hộp 2 chứa các tấm thẻ đánh số   2;4;6;8 . Hộp 3 chứa các tấm thẻ đánh số   1;3;5;7;9;11 .Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả được chọn là một số lẻ. Câu 5. (1,0 điểm) Cho quãng đường AB dài 120 km . Lúc 7 giờ sáng một xe máy đi từ A đến B.

Đi được 3

4 quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc

nhỏ hơn vận tốc lúc đầu là 10 km/giờ. Biết xe máy đến B lúc 11giờ 40 phút trưa cùng ngày. Giả

sử vận tốc xe máy trên 3

4 quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của xe máy trên 1

4

quãng đường còn lại cũng không thay đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ? Câu 6. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên ,x y thỏa mãn: 3 2 2 8 16 . x x x y y     Câu 7. (2,0 điểm) Cho n số nguyên dương sao cho 4 13 n  và 5 16 n  là các số chính phương. Chứng minh rằng 2025 2043 n  chia hết cho 24.

Câu 8. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao , , AD BE CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm của . BC Đường thẳng vuông góc với CA tại C và đường thẳng vuông góc với BA tại B cắt nhau tại điểm L .

1) Chứng minh rằng M là trung điểm của HL và AL vuông góc với . EF

2) Gọi , , , I K P Q theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống , , , . BA BE CF CA Chứng minh bốn điểm , , , I K P Q thẳng hàng.

3) Chứng minh rằng: 1 36 9 4 AD BE CF DH EH FH   .

Câu 9. (1,0 điểm) Cho , , 0 x y z  .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 4 4 Q . x y z x y y z z x                        

------------------------------Hết------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

(gồm 09 câu, 01 trang)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ THANH HÓA

HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS (LỚP 8)

CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2024-2025

MÔN: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm

1

Rút gọn

3 2

2 2 2 3 1 1 1 . 1 2 1 1 1 x x x x A x x x x x                 

, với 1 x . 2,0

3 2

2 2 2 3 1 1 1 . 1 2 1 1 1 x x x x A x x x x x                 

2 2

2 2 2 ( 1) 1 1 1 . 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x                   

0,5

2

2 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 . 1 ( 1) .( 1) 1 x x x x x x x x          

2 2 ( 1)( 1) 2 1 . 1 ( 1) .( 1) 1 x x x x x x x         2

2 1 ( 1)( 1) 1 x x x x     

0,5

2

2 2 ( 1) ( 1)( 1) x x x x     

2

2 ( 2 1) ( 1)( 1) x x x x      

2

2

( 1) ( 1)( 1) x x x      0,5

2 1

1 x x

  . 0,25

Vậy 2 1

1 x A x

   với 1 x . 0,25

2

Cho các số thực , , 0 a b c  và không phải là các số đối của nhau, thỏa mãn

2025 ab bc ca    .Tính:        

2 2 2

2 2 2 2025 2025 2025

a b b c c a B

a b c

   

  

2,0

Ta có:        2 2 2025 a a ab bc ca a a b c a b a b c a             0,5

Tương tự ta được:       2 2 2025 ; 2025 b a b b c c b c c a         0,5

Khi đó:

       

          

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2025 2025 2025

a b b c c a a b b c c a B a b c a a b b c c a b c a b c

                 0,5

       …