Các dạng bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán 9

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

Câu 1.  (HSG 9 Tỉnh Bắc Kạn 2023-2024)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , Oxy cho hàm số ( ) 2

2

5 3 15

2024. 8 3

m m y x m m

+ − − = + − +

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến.

Lời giải

+ Để hàm số nghịch biến thì ( ) 2

2

5 3 15

0 8 3

m m a

m m

+ − − =  − +

+ Ta có ( )

2 2 8 3 2 1 0 m m m m − + = − +  

+ Nên ( ) 2 3 5 15 0 m m − + + 

+ Ta có ( ) ( )( ) 2

3 0 3 ( ) 5 0 5 5 3 15 3 5 0

3 0 3 ( ) 5 0 5

m m tm m m m m m m

m m ktm m m

  −         +  −     + − − = − +  

  −         +  −     

Vậy 5 3 m −   thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. (HSG 9 Tỉnh Bình Phước 2023-2024) Cho Parabol 2 ( ): P y x = và đường thẳng ( ) : 4 d y mx = + (với m là tham số).

a) Chứng minh đường thẳng ( ) d luôn cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt . b) Gọi 1 2 , x x là hoành độ giao điểm của ( ) P và ( ) d . Tìm m để

1 1 2 2 2 2 1 2

2 2 3 mx x x mx T x x − + + = + nhận giá trị nguyên.

Lời giải a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) d và ( ) P là:

2 2 4 4 0 x mx x mx = +  − − = .

Ta có

2 16 0 m = +  , với mọi m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng ( ) d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt.

b) Theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2 . 4

x x m

x x

+ =   = − 

Khi đó ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2

2 3 m x x x x T x x + − + = +

2

2 2 7 8 m m

+ = +

2

9 2 8 T m = − + ( ) 2 8 9 T m U    + 

Mà 2 2 8 8, 8 9 1. m m m m +    + =  =  Câu 3. (HSG 9 Tỉnh Hà Nam 2023-2024) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , Oxy cho Parabol ( )

2 1 : 2 P y x = và đường thẳng

( )

2

2 12 : 6 4 d y mx m m = − + − , với 0 m  là tham số. Tìm các giá trị của m để ( ) d và ( ) P có các

điểm chung lần lượt có hoành độ 1 2 , x x sao cho 3 3 1 2 x x + đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là

( ) 2 2

2 12 12 6 4 0 1 x mx m m − + − + =

( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 12 144 3 ' 9 12 4 3 48 16 48 m m m m m m m m   = − −+ = − + − = − − +    

Phương trình ( )1 có nghiệm khi và chỉ khi:

( ) 4 2 4 2 2 3 ' 0 16 48 0 16 48 0 m m m m m  − − +   − + 

( )( ) 2 2 4 12 0 2 2 3 (*) m m m  − −    

Với điều kiện (*), pt đã cho có hai nghiệm 1 2 , x x

Theo hệ thức vi - ét ta có:

1 2

2

2 2

1 2 2

6

12 2

12 4 4 1 12 12

m m x x

m m m x x m

 + = =   − +  − = = + 

( ) ( ) 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2

3 2 3 3 2

2

3 .

4 1 3 3 3 2 12 2 8 8 2 2 2

Do ñoù A x x x x x x x x

m m m m m m m m m m

= + = + − +

  − −     = − + = − + − =            

Ta chứng minh

3 3

4 A  bằng cách chứng minh 3 3 0 4 A −  , với điều kiện (*).

Với điều kiện (*):

2 2

2

2 3 3 6 3 3 3 3 3 0 0 0 0 4 2 4 4.

3 2 3 3 6 0 2 3 (*1) 2

m m m A m m

m m m

− − − −    −   

 − −  −  

Do có điều kiện (*) nên (*1) luôn đúng. Tức là

3 3 3 3 3 3 0 4 4 4 A A −  −  

Vậy 3 3 min 2 3 4 A m − =  = − , 3 3 max 2 3 4 A m =  = .

Câu 4. (HSG 9 Đồng Tháp 2023-2024 )

Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng ( ) 1 : 3 2 d y x = − cắt hai trục tọa độ Ox , Oy lần lượt

tại , A B . a) Tìm tọa độ của . b) Viết phương trình đường thẳng đi qua và cắt đoạn thẳng tại sao cho diện tích

Oxy,

, A B

( )  ( ) 2; 2 − M OA C