Đề minh họa tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 sở GDĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI MINH HỌA

KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

a) Cho , , x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện 12 xy yz zx + + = . Chứng minh rằng

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 12 12 12 12 12 12 24 12 12 12

y z x z x y x y z x y z

+ + + + + + + + = + + + .

b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp S . Tính xác suất để lấy được một số chia hết cho7 .

Câu 2 (2,0 điểm).

a) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 3 4 3 2 0

1 3 2 0.

y x y x xy

y x x y

 + + − − + =  − + + − + − = 

b) Giải phương trình 3 2 1 3 1 0. x x x + + − −=

Câu 3 (2,0 điểm).

a) Cho ,x y là hai số tự nhiên thoả mãn 0 x y > > . Chứng minh rằng nếu 3 3 x y − chia hết cho 3 thì

3 3 x y − chia hết cho 9.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x và y sao cho 2 3 x y + là số chính phương.

Câu 4 (3,5 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( ) O với AB AC < . Gọi M là trung điểm của BC, AM

cắt ( ) O tại điểm D khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đường thẳng AC tại E khác C.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đường thẳng AB tại F khác B.

a) Chứng minh ba điểm E, M, F thẳng hàng; b) Chứng minh rằng OA EF ⊥ ; c) Phân giác của góc BAC cắt EF tại điểm N. Phân giác của góc CEN và góc BFN lần lượt cắt CN, BN tại P, Q. Chứng minh rằng // PQ BC .

Câu 5 (0,5 điểm).

Một hộp bi có 100 viên. Hai bạn Hòa và Bình cùng chơi trò lấy bi ra khỏi hộp có luật chơi như sau: Mỗi lần, người chơi chỉ được lấy 1, 2 hoặc 3 viên ra khỏi hộp, ai là người lấy được những viên bi cuối cùng trong hộp sẽ là người chiến thắng. Giả sử Hòa là người thực hiện trước, theo em Bình sẽ thực hiện cách lấy bi như thế nào để chắc chắn giành chiến thắng?

............................. Hết ...........................

Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI MINH HỌA

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

MÔN THI: TOÁN - CHUYÊN

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

Câu Sơ lược lời giải Điểm

Câu 1

(2,0)

a) Ta có : 12 xy yz zx + + =

( ) ( )

( )( )

2 2

2

2

12

12

12

x x xy yz zx

x x x y z x y

x x y x z

⇔ + = + + +

⇔ + = + + +

⇔ + = + +

Tương tự ta có : ( )( ) 2 12 y y z y z + = + + ; ( )( ) 2 12 z z x z y + = + +

0,5

Khi đó : ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2

2 2 2 12 12 12 12 12 12 24 12 12 12

y z x z x y x y z x y z

+ + + + + + + + = + + +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2.12 24

x y z y z x z x y

xy yz zx

= + + + + +

= + + + + +

= + + = =

0,5

b) Ta có { } 100; 101; 102; . . . ; 999 S =

Suy ra không gian mẫu ( ) 900 S n Ω= ⇒ Ω= 0,25

Gọi A là biến cố “ lấy được số chia hết cho 7” { } 105; 112; . . . ; 994 A ⇒ =

( ) 994 105 1 7 n A − ⇒ = + 128 = .

0,5

Vậy xác suất xảy ra biến cố A là ( ) ( )

128 32 ( ) 900 225 n A P A n = = = Ω 0,25

Câu 2

(2,0)

a)

2 2

2 2 3 4 3 2 0 (1)

1 3 2 0 (2)

y x y x xy

y x x y

 + + − − + =  − + + − + − = 

Điều kiện: 2 1 0

3 0

y x

x y

− + ≥   − + ≥ 

( ) ( ) 2 2 1 3 1 2 4 2 0 y x y x x ⇔ − − + − + =

0,25

Tính được: ( ) 2 1 x ∆= −

( ) 1 1 2 2 y x y x = −  ⇔ = − 

0,25

+) Với 1 y x = −thay vào (2) ta được: 2 4 2 (3) x x − + =

( ) 0 1 3 1 0

x y

x y

= ⇒ = −  ⇔= ⇒ = 

thỏa mãn điều kiện.

0,25

+) Với 2 2 y x = − thay vào (2) ta được: 2 2 5 1 2 x x x − + + −= (4) điều kiện xác

định 1 x ≥.

( )

2 (4) 1 4 1 2 x x ⇔ − + + −=

0,25