Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Long An

Trang 1/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN

(Đề có 02 trang, gồm 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025 MÔN THI: TOÁN-CẤP THPT NGÀY THI: 23/3/2025 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Lưu ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: 2 2 3 3 x x x − − = + .

b) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 3 1 21 , 9 3 1 117

xy y x x y x y xy x

+ + =  ∈  + + =  .

Câu 2 (5,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB và

CD với 3 CD AB = , hai đường chéo , AC BD vuông góc nhau tại I . Lấy điểm M

thuộc cạnh AD sao cho 3 DA DM = và điểm N là trung điểm của đoạn thẳng IB .

Đường thẳng IM đi qua điểm ( ) 10;7 P và đường thẳng CN có phương trình là

7 5 37 0 x y + − = . Chứng minh rằng IM vuông góc với CN và tìm toạ độ điểm C ,

điểm D biết ( ) 2;3 A .

b) Cho tam giác ABC có AD là đường phân giác trong góc A và BM là đường

trung tuyến kẻ từ đỉnh B (với D thuộc cạnh BC và M thuộc cạnh AC ). Biết rằng

hai đường thẳng AD và BM vuông góc với nhau và 3 5 2 5. 2 BM AD = − . Tính

cos A.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Cho dãy số ( ) na xác định bởi 1 0 a = và 1 2 1 n n a a n + = − + + , với mọi 1 n ≥.

Chứng minh rằng ( ) 1 n na n = − + với mọi 1 n ≥ và tính tổng 2025 số hạng đầu tiên

của dãy số ( ) na .

b) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi 1 4 u = và 2 1 5 9 n n n u u u + = − + , với mọi 1 n ≥.

Chứng minh rằng

1 2 2025

1 1 1 ... 1 2 2 2 u u u + + + < − − − .

Câu 4 (3,0 điểm).

Một bồn hoa hình tròn ở giữa sân trường được chia thành 6 phần bằng nhau và giao nhiệm vụ cho 6 lớp 10 chọn trồng một trong 4 loại hoa là hoa cúc, hoa hồng, hoa lan, hoa hướng dương theo các khu vực hình quạt được phân công cụ thể như hình vẽ.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 2/2

Hỏi có tất cả bao nhiêu phương án trồng hoa của các lớp sao cho hai lớp được phân công hai khu vực cạnh nhau thì không cùng trồng một loại hoa?

Câu 5 (3,0 điểm).

Một sợi dây kim loại dài 120 cm được cắt thành hai đoạn: đoạn dây thứ nhất

được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn. Tổng diện

tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu 2 cm ?

……………… HẾT ………………

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………….. Số báo danh:…………………...

Chữ ký cán bộ coi thi 1:………………….. Chữ ký cán bộ coi thi 2:…………………..

Trang 1/6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LONG AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP TỈNH NĂM HỌC 2024-2025 MÔN THI: TOÁN-CẤP THPT NGÀY THI: 23/3/2025 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

Câu 1a

(3,0đ)

Giải phương trình sau trên tập số thực: ( ) 2 2 3 3 1 x x x − − = + .

Điều kiện: 3 x ≥−. 0,25

( ) ( ) 2 1 1 1 3 3 4 4 x x x x ⇔ − + = + + + + 0,5

2 2 1 1 3 2 2 x x     ⇔ − = + +        

0,25

3 1

3

x x

x x

 + = − ⇔ + = − 

. 0,5

3 17 3 1 2 x x x ± + = −⇒ = . 0,5

1 13 3 2 x x x ± + = −⇒ = . 0,5

Thử lại, ta có tập nghiệm 3 17 1 13 ; 2 2 S   + −   =      

. 0,5

Câu 1b (2,0đ) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 3 1 21 , 9 3 1 117

xy y x x y x y xy x

+ + =  ∈  + + =  .

Dễ thấy 0 x = không thỏa mãn hệ phương trình. 0,25

Với 0, x ≠ ta có

2 2

1 3 21

1 9 3 117

y y x x y y x x

 + + =   + + = 

0,25

2

1 3 21

1 3 3 117

y y x x

y y x x

  + + =      ⇔    + − =     

. 0,25