Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hòa Bình

UBND TỈNH HÒA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

_______________________

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2024-2025

ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 06 câu, 01 trang)

Môn: TOÁN – Bảng A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 15/12/2024 ___________________________________________________________________________________________________________ Câu 1 (4,0 điểm). Giải các phương trình sau:

a) 2 2 cos 4 sin cos 6 x x x π   − + =    

. b) ( ) ( ) 3 3 1 3 3log 1 log 5 3 x x − − − = .

Câu 2 (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có độ dài cạnh bên bằng 3 a , tam giác ABC vuông cân tại A và cạnh 2 BC a = . Hình chiếu vuông góc của đỉnh ' A trên mặt phẳng ( ) ABC là trung điểm H của cạnh BC .

a) Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C . b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ) ' ' AA C C .

c) Gọi α là số đo góc nhị diện [ ] , ', C AA B . Tính cosα . Câu 3 (4,0 điểm).

a) Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (tính bằng mét) của mực nước trong kênh tại thời điểm t (tính bằng giờ, 0 24 t ≤< ) trong ngày

được xác định bởi công thức ( ) 2cos 5 12 3 t h t π π   = + +    

. Hãy xác định khoảng thời gian trong

ngày mà mức nước trong kênh tăng dần.

b) Một lớp học có 35 học sinh. Các học sinh tham gia vào tổng cộng n câu lạc bộ. Chứng minh rằng nếu mỗi câu lạc bộ có ít nhất 15 học sinh tham gia và hai học sinh bất kỳ tham gia chung nhiều nhất một câu lạc bộ thì 5 n ≤ . Câu 4 (3,0 điểm). Cho dãy số ( ) nx xác định bởi:

( ) 2 1 1 1 3; 2 4 , * 2 n n n x x x x n + = = + + − ∀∈.

a) Chứng minh rằng lim n n x →+∞ = +∞.

b) Tính

( )

2 1

1 lim 2

n

n i ix →+∞ = − ∑ .

Câu 5 (2,0 điểm). Cho ,x y là các số thực dương thoả mãn ( ) 2 2 2 2 x y xy x y xy + = + + . Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 50 P x y xy = + + . Câu 6 (3,0 điểm). Xét hàm số : f →   thoả mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , f x f y x y f x f y x y + = + + + ∀ ∈.

a) Chứng minh rằng hàm số ( ) f x là đơn ánh.

b) Tìm tất cả các hàm số ( ) f x . ------------------------HẾT------------------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, Giám thị không giải thích gì thêm) Họ tên thí sinh:…..……………………………………………………………............... Số báo danh: …..……………………… Phòng thi: …..………………………….

UBND TỈNH HÒA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _______________________

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

NĂM HỌC 2024-2025

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm gồm 06 câu, 05 trang)

Môn: TOÁN – Bảng A

Thời gian: 180 phút Ngày thi: 15/12/2024 ________________________________________________________________________________________________________

Câu Hướng dẫn chấm Thang điểm

Câu 1 (4,0 đ)

a) Ta có ( ) 2 2 cos 4 sin cos cos 4 cos 2 6 6 x x x x x π π     − + = ⇔ − =        

1,0

( ) ( ) 4 2 2 6 12 , , 4 2 2 36 3 6

x x k x k k k k x x x k

π π π π

π π π π

  − = + = +   ⇔ ∈ ⇔ ∈    = + − = − +   

  .

Vậy phương trình có hai nghiệm là ( ) ; 12 36 3 k x k x k π π π π = + = + ∈.

1,0

b) ĐKXĐ: 1 0 1 5 5 0 5 x x x x x −> >   ⇔ ⇔ >   − > >  

0,5

Ta có ( )( ) ( )( ) 3 log 1 5 1 1 5 3 x x x x  − − = ⇔ − − =   0,5

2 3 7 6 2 0 3 7

x x x x

= + ⇔ − + = ⇔ = − 

. 0,5

Kết hợp điều kiện xác định ta thu được 3 7 x = + . 0,5

Câu 2 (4,0 đ)