Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Vĩnh Long

Lời giải đề thi học sinh giỏi Toán 12 Vĩnh Long 2025 – 2026

Câu 1: Cho hàm số 

3 2 2 4 y f x x x mx      . Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên

khoảng   1; .

Ta có 

2 ' 3 2 2 f x x x m    .

Hàm số  f x đồng biến trên khoảng   1;    ' 0, 1; f x x   

 

 

 

2

2

2

3 2 2 0, 1;

2 3 2 , 1;

3 , 1; 2

x x m x

m x x x

m x x x

    

   

   

Đặt 

2 3 2 g x x x   với   1; x. Ta có:  ' 3 1 g x x  .

 1 ' 0 3 1 0 3 g x x x     

x 1  1 3 

 ' g x  0 

 g x

5 2 

1 6



Ta có giá trị lớn nhất của hàm số  g x trên khoảng   1;  là 1

6 .

Do đó hàm số  f x đồng biến trên khoảng   1; 1 6 m   .

Câu 2: Cho hàm số

2 1 1 x x y x

    có đồ thị  C và điểm   1;3 M  . Gọi A, B là hai điểm cực

trị của đồ thị  C . Tính diện tích của tam giác MAB .

Tập xác định:  \ 1 D 

Ta có:    

   

2 2

2 2 2 1 1 1 .1 2 '

1 1

x x x x x x y

x x

         

.

2 0 ' 0 2 0 2

x y x x x

       

Bảng biến thiên

x  0 2 

'y  0   0 

y



1 





3



Vậy hai điểm cực trị của đồ thị  C là   0; 1 A  và   2;3 B .

Ngoài ra   1;3 M  nên 3 MB  và phương trình đường thẳng MB là 3 y  hay 3 0 y   .

Suy ra   2 1 3 , 4 1 d A MB    .

Do đó diện tích tam giác MAB bằng   1 1 . , .3.4 6 2 2 MB d A MB   .

Câu 3:

a) Giải phương trình: 2 2 cos 3 .cos2 cos 0 x x x   .

b) Xét dãy số   n u thỏa mãn 1 3 u  , 1

4 3 2 n

n u u    , * n . Tìm số hạng tổng quát n u của

dãy số.

a)

   

 

2 2 cos 3 .cos2 cos 0

1 cos6 1 cos2 cos2 0 2 2 1 cos6 .cos2 1 cos2 0

cos2 cos6 .cos2 1 cos2 0

cos6 .cos2 1 0

1 cos4 cos8 1 0 2

x x x

x x x

x x x

x x x x

x x

x x

 

     

    

   

 

  

 

  

2

2

cos4 cos8 2 0

cos4 2cos 4 1 2 0

2cos 4 cos4 3 0

cos4 1 2cos4 3 0

x x

x x

x x

x x

   

    

   

   

 

 

 

cos4 1

3 cos4 2 4 2

2

x

x vn

x k k

k x k





        

  





Vậy phương trình có nghiệm là   2 k x k   

b) Ta có:

1

1

1

1

4 3 2

4 2 1 2

2 2 2

2 1

2 2

n

n

n

n

n n

n

n

n n

u u

u u

u u u

u u u









  

   

    

    

1

1 4 1 2 2 n n u u     

Đặt 1

1

1 1 1 , 1 2 2 3 2 n

n v v u u        . Khi đó:

1

1

4 1

1 1 4 3 3

n n

n n

v v

v v





 

         

Đặt 1 1 1 1 1 4 , 1 3 3 3 3 n n a v a v       . Khi đó: 1 4 n n a a  .

Suy ra   n a là cấp số nhân với số hạng đầu 1

4 3 a  và công bội 4 q  .

Suy ra 1 4.4 , 2 3

n n a n    .

Suy ra 1 4 1 .4 , 2 3 3

n nv n    

Suy ra

1 1 1 3 2 2 2 , 2 4 1 4 1 .4 3 3

n n n n u n v          

.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số   n u là 3 2 , 2 4 1 n n u n     .

Câu 4: Trước kì bầu cử bí thư lớp 10A, cô giáo chủ nhiệm có cuộc thăm dò tín nhiệm của 43 bạn học sinh đối với ba ứng cử viên A, B, C có kết quả như sau: số phiếu tín nhiệm ứng cử viên A là 15, B là 23, C là 16, A và B là 9, B và C là 12, C và A là 7, số học sinh không có ý kiến là 10. Hỏi số phiếu tín nhiệm cả ba bạn A, B, C là bao nhiêu?

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp các bạn học sinh tín nhiệm ứng cử viên A, B, C.

Ta có:  15 n A  ,  23 n B  ,  16 n C  ,   9 n A B   ,   12 n B C   ,   7 n A C  

  43 10 33 n A B C      .

Ta có:       15 23 9 29 n A B n A n B n A B          .

           29 16 33 12 n A B C n A B n C n A B C             .

            7 12 12 7 n A B C n A C n B C n A B C              .

Vậy có 7 phiếu tín nhiệm cả ba bạn A, B, C.

Cách khác: Dùng công thức sau

             n A B C n A n B n C n A B n B C n A C n A B C               .