Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2025 - 2026 sở GDĐT Khánh Hòa

THẦY NGUYỄN CHÍ NHÂN TỔTOÁN MAPSTUDY

SỞGIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA ĐỀTHI CHÍNH THỨC

(Đềthi có 2 trang)

Họ, tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . .

KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN - NĂM HỌC: 2025 - 2026 Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi:22/01/2026 ————————————– Sốbáo danh:.....................

ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1 (4,00 điểm) a) Tìm m đểhàm sốcó hai điểm cực trịvà đường thẳng qua cực trịđi qua A(1;−4). Điều kiện đểhàm sốy = −x3 +3mx2 −3(m+6)x−1 có hai cực trị: Ta có y′ = −3x2 +6mx−3(m+6). Phương trình y′ = 0 ⇔x2 −2mx+(m+6) = 0. Đểhàm sốcó hai điểm cực trịthì phương trình y′ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:

∆′ = m2 −(m+6) = m2 −m−6 > 0 ⇔ m > 3 m < −2

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị(∆): Thực hiện phép chia y cho y′, ta có:

y = y′ · 1

3x−m

3

+2(m2 −m−6)x−(m2 +6m+1)

Vậy phương trình đường thẳng qua hai cực trịlà:

(∆) : y = 2(m2 −m−6)x−(m2 +6m+1)

Vì (∆) đi qua A(1;−4), thay tọa độA vào phương trình:

−4 = 2(m2 −m−6)ã1−(m2 +6m+1) ⇔m2 −8m−9 = 0 ⇔ m = −1 (loại) m = 9 (thỏa mãn)

Vậy m = 9 là giá trịcần tìm.

b) Bài toán tối ưu diện tích hàng rào. Gọi x,y (m) lần lượt là chiều dài cạnh AD và AB (x,y > 0). Tổng chi phí xây dựng là:

T = 30y(cạnh AB)+20y(cạnh CD)+20(2x)(cạnh AD,BC)+15(2x)(cạnh EF,GH)

Nên: T = 50y+70x = 35.000 ⇒5y+7x = 3500 ⇒y = 3500−7x

5 Diện tích mảnh đất: S = xãy = x 3500−7x

5 = 1

5(−7x2 +3500x) Đây là parabol có đỉnh tại x = −3500

2·(−7) = 250. Khi đó y = 3500−7·250

5 = 350. Diện tích lớn nhất là: Smax = 250·350 = 87.500 m2.

Trang 1

THẦY NGUYỄN CHÍ NHÂN TỔTOÁN MAPSTUDY Câu 2 (3,50 điểm) a) Tìm GTLN của P = x−2y. Từgiảthiết: 5x2−y+1 = 2x+y (x+1)2 ⇔5(x+1)2.(x+1)2 = 52x+y.(2x+y).

Xét hàm sốf(t) = 5t.t có đạo hàm luôn lớn hơn 0 với t > 0, ta suy ra (x+1)2 = 2x+y ⇒y = x2 +1. Thay vào biểu thức P: P = x−2(x2 +1) = −2x2 +x−2

GTLN của tam thức bậc hai này đạt được tại x = 1

4. Vậy Pmax = −2 1

4 2 + 1

4 −2 = −15

8 .

b) Dãy số. Ta có un+2 −un+1 = un+1 −un +1 ⇒vn+1 = vn +1. Vậy (vn) là cấp sốcộng có v1 = u2 −u1 = 2 và công sai d = 1. Tổng n sốhạng đầu của (vn): Sn = n

2[2ã2+(n−1)ã1] = n(n+3)

2 . Sốhạng tổng quát un: un = u1 +Sn−1 = −1+ (n−1)(n+2)

2 = n2+n−4

2 .

Câu 3 (3,50 điểm) a) Giải bất phương trình: √3x+1− √

6−x+3x2 −14x−8 ≤0. Điều kiện: −1

3 ≤x ≤6. Sửdụng phương pháp liên hợp với nghiệm x = 5:

3(x−5) √3x+1+4 + x−5 √

6−x+1 +(x−5)(3x+1) ≤0

⇔(x−5) 3 √3x+1+4 + 1 √

6−x+1 +3x+1 ≤0

Vì biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương với mọi x ∈[−1

3;6], ta có: x−5 ≤0 ⇔x ≤5. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là S = [−1

3;5].

b) Bài toán quy hoạch tuyến tính (Tối ưu chi phí thực phẩm). Gọi x,y lần lượt là sốhộp thực phẩm loại X và loại Y cần mua (x,y ≥0). Hệđiều kiện vềcác đơn vịchất dinh dưỡng tối thiểu:   

 

2x+y ≥11 (Chất A) 2x+9y ≥27 (Chất B) 2x+3y ≥20 (Chất C)

Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: L(x,y) = 200x+250y (nghìn đồng). i. Thiết lập hệbất phương trình và Hàm mục tiêu Hệđiều kiện vềđơn vịchất dinh dưỡng tối thiểu:     

   

2x+y ≥11 (d1) 2x+9y ≥27 (d2) 2x+3y ≥20 (d3) x,y ∈N

Hàm chi phí cần tối thiểu hóa: L(x,y) = 200x+250y (nghìn đồng).

Trang 2